Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình $d:\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y -

Câu hỏi số 955398:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình $d:\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y - 1}{4} = \dfrac{z + 5}{5}$; $d':\dfrac{x - 1}{a} = \dfrac{y + 1}{b} = \dfrac{z + 4}{c}$, trong đó a, b, c là các số thực khác 0 sao cho các đường thẳng d và d' cắt nhau tại M. Mặt phẳng $(P):2x + y - 2z - 6 = 0$ lần lượt cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Tính thể tích của khối tứ diện MABC.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:955398

Phương pháp giải

Tìm tọa độ các điểm A, B, C từ phương trình mặt phẳng $(P)$.

Nhận xét về mối quan hệ giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(P)$ để thấy rằng khoảng cách từ mọi điểm M trên d đến $(P)$ là không đổi.

Tính diện tích tam giác ABC và thể tích khối tứ diện.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(P)$ cắt các trục tọa độ tại $A(3;0;0)$, $B(0;6;0)$, $C(0;0; - 3)$.

Đường thẳng d đi qua $M_{0}(2;1; - 5)$ và có vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = (3;4;5)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (2;1; - 2)$.

Ta thấy ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} \cdot {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = 3.2 + 4.1 + 5.( - 2) = 0$, nên $d \parallel (P)$.

Vì d và d' cắt nhau tại M nên $M \in d$.

Do $d \parallel (P)$ nên khoảng cách $d(M,(P)) = d(M_{0},(P))$:

$h = d(M,(P)) = \dfrac{\left| 2.2 + 1 - 2( - 5) - 6 \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}}} = 3$.

$\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 3;6;0)$, $\overset{\rightarrow}{AC} = ( - 3;0; - 3)$ $\left. \Rightarrow\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack = ( - 18; - 9;18) \right.$

Tọa độ các đỉnh A, B, C nằm trên các trục nên

$\left. S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \middle| \lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}\rbrack \middle| = \dfrac{1}{2}\sqrt{{( - 18)}^{2} + {( - 9)}^{2} + 18^{2}} = \dfrac{27}{2} \right.$.

Thể tích khối tứ diện MABC là: $V = \dfrac{1}{3}S_{ABC} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{27}{2} \cdot 3 = 13,5$.

Đáp án cần điền là: 13,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.