Trên mặt phẳng vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AD, với $AB = 2AD = 4cm$ như

Câu hỏi số 956310:

Vận dụng

Trên mặt phẳng vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AD, với $AB = 2AD = 4cm$ như hình vẽ. Cho biết $\angle BAC = 30^{o}$. Hình phẳng $(H)$ là phần tô đậm nằm giữa hai nửa đường tròn, đường thẳng AB, AC. Một kỹ sư cần chế tạo chi tiết máy bằng thép có dạng tròn xoay khi xoay hình phẳng $(H)$ quanh trục AB. Biết chi phí sản xuất là 15 nghìn đồng/$cm^{3}$. Giá tiền sản xuất một chi tiết máy là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:956310

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành: $V = \pi{\int_{a}^{b}y^{2}}dx$.

Xác định phương trình của các cung tròn và đường thẳng biên để tính thể tích.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A(0,0)$ và AB nằm trên trục Ox. Khi đó $B(4,0)$ và $D(2,0)$.

Nửa đường tròn lớn có tâm $I(2,0)$, bán kính $R = 2$: $\left. {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4\Rightarrow y^{2} = 4x - x^{2} \right.$.

Nửa đường tròn nhỏ có tâm $J(1,0)$, bán kính $r = 1$: $\left. {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1\Rightarrow y^{2} = 2x - x^{2} \right.$.

Đường thẳng AC đi qua gốc tọa độ và tạo với AB góc $30^{o}$ nên có phương trình:

$y = x \cdot \tan 30^{o} = \dfrac{x}{\sqrt{3}}$ $\left. \Rightarrow y^{2} = \dfrac{x^{2}}{3} \right.$.

Giao điểm C của AC và nửa đường tròn lớn:

$\left. \dfrac{x^{2}}{3} = 4x - x^{2}\Leftrightarrow\dfrac{4x^{2}}{3} - 4x = 0\Rightarrow x = 3 \right.$.

Giao điểm của AC và nửa đường tròn nhỏ:

$\left. \dfrac{x^{2}}{3} = 2x - x^{2}\Leftrightarrow\dfrac{4x^{2}}{3} - 2x = 0\Rightarrow x = 1,5 \right.$.

Thể tích khối tròn xoay $(H)$ quanh AB là:

$V=\pi \int_{1,5}^2\left[\frac{x^2}{3}-\left(2 x-x^2\right)\right] d x+\pi \int_2^3\left(\frac{x^2}{3}\right) d x+\pi \int_3^4\left(4 x-x^2\right) d x=\frac{49}{12} \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$Giá tiền sản xuất: $\frac{49}{12} \pi \cdot 15 \approx 192$ nghìn đồng.

Đáp án cần điền là: 192

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.