Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong
Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trung điểm của$AB$, $N$ là trung điểm của $AD$.
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm
Đáp án đúng là: A
Sử dụng định lý về hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng AB.
Trong mặt phẳng $(SAB)$, xét tam giác SAB đều có $H$ là trung điểm của AB.
Do đó, SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAB, suy ra $SH\bot AB$.
Ta có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {(SAB)\bot(ABCD)} \\ {(SAB) \cap (ABCD) = AB} \\ {SH \subset (SAB);SH\bot AB} \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot\left( {ABCD} \right) \right.$
Vậy hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ chính là điểm $H$.
Đáp án cần chọn là: A
Phát biểu nào sau đây sai?
Đáp án đúng là: A
- Sử dụng công thức tính chiều cao của tam giác đều cạnh $a$: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3}B \cdot h$.
- Sử dụng tỉ số khoảng cách: Nếu đường thẳng MN cắt mặt phẳng $(P)$ tại $I$ thì $\dfrac{d(M;(P))}{d(N;(P))} = \dfrac{MI}{NI}$.
Ta có $SH\bot(ABCD)$ và $\Delta SAB$ đều cạnh a nên $SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy phát biểu D đúng.
- Diện tích đáy $S_{ABCD} = a^{2}$.
- Thể tích $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$. Vậy phát biểu C đúng.
- Vì O là tâm hình vuông ABCD nên O là trung điểm của BD.
- Mà $O \in AC \subset (SAC)$ nên đường thẳng BD cắt $(SAC)$ tại trung điểm $O$ của nó.
- Suy ra $d(B;(SAC)) = d(D;(SAC))$. Vậy phát biểu B đúng.
- Xét điểm H và B: Đường thẳng HB cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại $A$ (do A, H, B thẳng hàng và $A \in AC \subset (SAC)$).
- Ta có $\dfrac{d(H;(SAC))}{d(B;(SAC))} = \dfrac{HA}{BA} = \dfrac{1}{2}$ (vì $H$ là trung điểm AB).
- Suy ra $d(H;(SAC)) = \dfrac{1}{2}d(B;(SAC)) = \dfrac{1}{2}d(D;(SAC))$.
- Do đó, $d(D;(SAC)) = d(H;(SAC))$ là phát biểu sai.
Đáp án cần chọn là: A
Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SAC)$ là bao nhiêu?
Đáp án đúng là: C
- Chuyển khoảng cách từ điểm $B$ về chân đường cao $H$ dựa trên tỉ số đoạn thẳng: $\dfrac{d(B,(SAC))}{d(H,(SAC))} = \dfrac{BA}{HA}$.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng nghiêng trong khối chóp.
Ta có O là tâm hình vuông ABCD, nên $O = AC \cap BD$.
Vì $O$ là trung điểm của BD nên $d(D,(SAC)) = d(B,(SAC))$.
- Vì AB cắt $(SAC)$ tại $A$ và $H$ là trung điểm của AB nên $\dfrac{d(B,(SAC))}{d(H,(SAC))} = \dfrac{BA}{HA} = 2$.
Suy ra $d(D,(SAC)) = 2d(H,(SAC))$.
- Tính $d(H,(SAC))$:
+ Kẻ $HK\bot AC$ tại $K$. Vì $\left. SH\bot(ABCD)\Rightarrow SH\bot AC \right.$. Do đó $AC\bot(SHK)$.
+ Kẻ $HI\bot SK$ tại $I$. Khi đó $HI\bot(SAC)$, nên $d(H,(SAC)) = HI$.
+ Trong tam giác vuông ABC, $BO\bot AC$.
Ta có $BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
+ Vì $HK \parallel BO$ (cùng vuông góc AC) và $H$ là trung điểm AB, nên HK là đường trung bình của tam giác ABO (với K là trung điểm AO).
Suy ra $HK = \dfrac{1}{2}BO = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
+ Xét tam giác vuông SHK tại $H$:
$\dfrac{1}{HI^{2}} = \dfrac{1}{SH^{2}} + \dfrac{1}{HK^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{4} \right)^{2}} = \dfrac{4}{3a^{2}} + \dfrac{16}{2a^{2}} = \dfrac{28}{3a^{2}}$
+ Suy ra $HI = \sqrt{\dfrac{3a^{2}}{28}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
- Vậy $d(D,(SAC)) = 2 \cdot HI = 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{14} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án cần chọn là: C
Quảng cáo
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
