Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số

Câu hỏi số 957380:

Vận dụng

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số $g(x) = f\lbrack f(x)\rbrack$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957380

Phương pháp giải

Tính đạo hàm $g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.

Giải phương trình $g'(x) = 0$ để tìm các nghiệm.

Lập bảng xét dấu đạo hàm $g'(x)$ hoặc dùng quy tắc đan dấu để xác định các điểm cực đại (điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm).

Giải chi tiết

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta có:

Hàm số đạt cực trị tại $x = - 1$ và $x = 1$, do đó $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$ hoặc $x = 1$.

Xét hàm số $g(x) = f\lbrack f(x)\rbrack$, có đạo hàm $g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.

Cho $\left. g'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {f'(f(x)) = 0} \\ {f'(x) = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {f(x) = - 1} \\ {f(x) = 1} \\ {x = - 1} \\ {x = 1} \end{array} \right. \right.$

Dựa vào đồ thị $y = f(x)$ tương giao với các đường thẳng $y = - 1$ và $y = 1$, ta xác định được:

Phương trình $f(x) = - 1$ có 3 nghiệm phân biệt $a_{1},a_{2},a_{3}$ (với $a_{1} < - 1 < a_{2} < 1 < a_{3}$).

Phương trình $f(x) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt $b_{1},b_{2},b_{3}$ (với $b_{1} < - 1 < b_{2} < 1 < b_{3}$).

Từ sự đồng biến và nghịch biến của đồ thị $y = f(x)$, ta có thể sắp xếp thứ tự 8 nghiệm của $g'(x) = 0$ tăng dần như sau:

$a_{1} < b_{1} < - 1 < b_{2} < a_{2} < 1 < a_{3} < b_{3}$

Xét dấu $g'(x)$ trên khoảng $(b_{3}; + \infty)$:

Với $x > b_{3} > 1$, ta có $f'(x) > 0$.

Mặt khác $f(x) > f(b_{3}) = 1$, suy ra $f'(f(x)) > 0$.

Do đó $g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) > 0$ trên khoảng $(b_{3}; + \infty)$.

Ta có bảng xét dấu

Vậy hàm số $g(x) = f\lbrack f(x)\rbrack$ có 4 điểm cực đại.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.