Một người nọ đang đứng tại điểm N cách con đường d một khoảng $NA = 10m$. Một chiếc xe

Câu hỏi số 957382:

Vận dụng

Một người nọ đang đứng tại điểm N cách con đường d một khoảng $NA = 10m$. Một chiếc xe máy và một chiếc xe đạp xuất phát cùng lúc tại điểm A, chạy về cùng một hướng của đường thẳng d sao cho tốc độ xe máy gấp 4 lần tốc độ xe đạp. Xác định giá trị lớn nhất của góc nhìn $\alpha$ tạo bởi hai tia nhìn NB và NC khi người đó quan sát xe đạp và xe máy (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 37

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957382

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, công thức cộng lượng giác và bất đẳng thức Cô-si (AM - GM) để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Gọi B là vị trí của xe đạp, C là vị trí của xe máy.

Vì hai xe xuất phát cùng lúc tại A và chạy về cùng một hướng, tốc độ xe máy gấp 4 lần tốc độ xe đạp nên quãng đường xe máy đi được luôn gấp 4 lần quãng đường xe đạp đi được.

Suy ra $AC = 4AB$.

Đặt $AB = x$ ($x > 0$), ta có $AC = 4x$.

Xét tam giác vuông NAB vuông tại A, ta có: $\tan\angle ANB = \dfrac{AB}{NA} = \dfrac{x}{10}$.

Xét tam giác vuông NAC vuông tại A, ta có: $\tan\angle ANC = \dfrac{AC}{NA} = \dfrac{4x}{10} = \dfrac{2x}{5}$.

Dựa vào hình vẽ, ta có góc nhìn $\alpha = \angle BNC = \angle ANC - \angle ANB$.

Áp dụng công thức cộng lượng giác:

$\tan\alpha = \tan(\angle ANC - \angle ANB) = \dfrac{\tan\angle ANC - \tan\angle ANB}{1 + \tan\angle ANC \cdot \tan\angle ANB}$

Thay các biểu thức tương ứng vào, ta được:

$\tan\alpha = \dfrac{\dfrac{2x}{5} - \dfrac{x}{10}}{1 + \dfrac{2x}{5} \cdot \dfrac{x}{10}} = \dfrac{\dfrac{3x}{10}}{1 + \dfrac{x^{2}}{25}} = \dfrac{\dfrac{3x}{10}}{\dfrac{25 + x^{2}}{25}} = \dfrac{15x}{2(25 + x^{2})} = \dfrac{15x}{50 + 2x^{2}}$.

Chia cả tử và mẫu cho $x$ (do $x > 0$), ta được: $\tan\alpha = \dfrac{15}{\dfrac{50}{x} + 2x}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\dfrac{50}{x}$ và $2x$, ta có:

$\dfrac{50}{x} + 2x \geq 2\sqrt{\dfrac{50}{x} \cdot 2x} = 2\sqrt{100} = 20$.

Suy ra $\tan\alpha \leq \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} = 0,75$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$\left. \dfrac{50}{x} = 2x\Leftrightarrow 2x^{2} = 50\Leftrightarrow x^{2} = 25\Leftrightarrow x = 5 \right.$ (thỏa mãn $x > 0$).

Vậy giá trị lớn nhất của $\tan\alpha$ là 0,75.

Vì góc $\alpha$ là góc nhọn ($0^{{^\circ}} < \alpha < 90^{{^\circ}}$) nên hàm số tang đồng biến, do đó $\alpha$ đạt giá trị lớn nhất khi $\tan\alpha$ lớn nhất.

Khi đó $\left. \tan\alpha = 0,75\Rightarrow\alpha \approx 36,87^{{^\circ}} \right.$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được $37^{{^\circ}}$.

Đáp án cần điền là: 37

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.