Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$, $(Q):2x + y -

Câu hỏi số 957384:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$, $(Q):2x + y - 2z - 2 = 0$ và điểm $K( - 2;1; - 1)$. Gọi $\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Gọi d là đường thẳng qua K. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa d và $\Delta$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3,97

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957384

Phương pháp giải

Sử dụng nhận xét: Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và $\Delta$ (với điểm $K \in d$) luôn nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng $\Delta$.

Viết phương trình hoặc tìm vectơ chỉ phương, điểm đi qua của đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian: $d(K,\Delta) = \dfrac{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{MK},{\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}} \right\rbrack \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} \right|}$ với $M \in \Delta$ và ${\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (1; - 2;2)$.

Mặt phẳng $(Q):2x + y - 2z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{Q} = (2;1; - 2)$.

Đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} = \lbrack{\overset{\rightarrow}{n}}_{P},{\overset{\rightarrow}{n}}_{Q}\rbrack = (2;6;5)$.

Cho $x = 1$, thay vào phương trình $(P)$ và $(Q)$ ta có hệ:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {1 - 2y + 2z - 3 = 0} \\ {2(1) + y - 2z - 2 = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- 2y + 2z = 2} \\ {y - 2z = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y = - 2} \\ {z = - 1} \end{array} \right. \right.$

Do đó, $\Delta$ đi qua điểm $M(1; - 2; - 1)$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của K lên $\Delta$, ta có khoảng cách từ K đến $\Delta$ là $d(K,\Delta) = KH$.

Xét các trường hợp của đường thẳng d đi qua K:

Nếu $d \parallel \Delta$ thì khoảng cách giữa d và $\Delta$ bằng $d(K,\Delta) = KH$.

Nếu d cắt $\Delta$ thì khoảng cách giữa d và $\Delta$ bằng $0 \leq KH$.

Nếu d và $\Delta$ chéo nhau. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa d và song song với $\Delta$.

Khi đó khoảng cách giữa d và $\Delta$ bằng khoảng cách từ $\Delta$ đến $(\alpha)$, và bằng khoảng cách từ $H \in \Delta$ đến $(\alpha)$.

Do $K \in d \subset (\alpha)$ nên $K \in (\alpha)$.

Đoạn thẳng HK là một đường xiên kẻ từ H đến mặt phẳng $(\alpha)$.

Khoảng cách từ H đến $(\alpha)$ (là độ dài đường vuông góc kẻ từ H) luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đường xiên HK.

Suy ra $d(d,\Delta) \leq HK = d(K,\Delta)$.

Vậy, giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa d và $\Delta$ chính bằng khoảng cách từ K đến $\Delta$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{MK} = ( - 3;3;0)$.

Tích có hướng $\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{MK},{\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}} \right\rbrack = \left( {\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 6 & 5 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 0 & {- 3} \\ 5 & 2 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} {- 3} & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right|} \right) = (15;15; - 24)$.

Độ dài $\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{MK},{\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}} \right\rbrack \right| = \sqrt{15^{2} + 15^{2} + {( - 24)}^{2}} = \sqrt{1026}$.

Độ dài $\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} \right| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 5^{2}} = \sqrt{65}$.

Khoảng cách lớn nhất cần tìm là: $d(K,\Delta) = \dfrac{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{MK},{\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}} \right\rbrack \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} \right|} = \dfrac{\sqrt{1026}}{\sqrt{65}} \approx 3,9729...$

Đáp án cần điền là: 3,97

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.