Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B', C' tùy ý. Gọi G là

Câu hỏi số 957385:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B', C' tùy ý. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt $\dfrac{SA}{SA'} = a;\dfrac{SB}{SB'} = b;\dfrac{SC}{SC'} = c$. Biết G thuộc mặt phẳng (A'B'C'), tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957385

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất vectơ của trọng tâm tam giác: $\overset{\rightarrow}{SG} = \dfrac{1}{3}(\overset{\rightarrow}{SA} + \overset{\rightarrow}{SB} + \overset{\rightarrow}{SC})$.

Sử dụng điều kiện đồng phẳng trong không gian: Điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, tồn tại các số thực x, y, z sao cho $\overset{\rightarrow}{OM} = x\overset{\rightarrow}{OA} + y\overset{\rightarrow}{OB} + z\overset{\rightarrow}{OC}$ và $x + y + z = 1$.

Giải chi tiết

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm S, ta có đẳng thức vectơ:

$\overset{\rightarrow}{SG} = \dfrac{1}{3}(\overset{\rightarrow}{SA} + \overset{\rightarrow}{SB} + \overset{\rightarrow}{SC})$

Theo giả thiết, các điểm A', B', C' lần lượt nằm trên các tia SA, SB, SC và $\dfrac{SA}{SA'} = a;\dfrac{SB}{SB'} = b;\dfrac{SC}{SC'} = c$.

Suy ra ta có các biểu thức vectơ: $\overset{\rightarrow}{SA} = a\overset{\rightarrow}{SA^{\prime}};\overset{\rightarrow}{SB} = b\overset{\rightarrow}{SB^{\prime}};\overset{\rightarrow}{SC} = c\overset{\rightarrow}{SC^{\prime}}$.

Thay các biểu thức này vào đẳng thức của $\overset{\rightarrow}{SG}$, ta nhận được:

$\overset{\rightarrow}{SG} = \dfrac{1}{3}(a\overset{\rightarrow}{SA^{\prime}} + b\overset{\rightarrow}{SB^{\prime}} + c\overset{\rightarrow}{SC^{\prime}}) = \dfrac{a}{3}\overset{\rightarrow}{SA^{\prime}} + \dfrac{b}{3}\overset{\rightarrow}{SB^{\prime}} + \dfrac{c}{3}\overset{\rightarrow}{SC^{\prime}}$.

Mặt khác, đề bài cho biết G thuộc mặt phẳng $(A'B'C')$.

Áp dụng điều kiện đồng phẳng cho bốn điểm G, A', B', C' với điểm gốc S, tổng các hệ số của các vectơ $\overset{\rightarrow}{SA^{\prime}},\overset{\rightarrow}{SB^{\prime}},\overset{\rightarrow}{SC^{\prime}}$ trong phân tích của $\overset{\rightarrow}{SG}$ phải bằng $1$.

Do đó, ta có phương trình:

$\dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{3} + \dfrac{c}{3} = 1$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{a + b + c}{3} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow a + b + c = 3 \right.$.

Vậy giá trị của biểu thức T là 3.

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.