Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và mặt phẳng

Câu hỏi số 957386:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y + z + 4 = 0$. Gọi M, N là các điểm di động lần lượt trên $(S)$ và $(P)$. Khi MN có giá trị nhỏ nhất, điểm M có tọa độ là $M(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $T = 3a + 2b + c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957386

Phương pháp giải

Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) để xét vị trí tương đối.

Khi (S) và (P) không giao nhau, để MN nhỏ nhất (với $M \in (S),N \in (P)$) thì M, N phải nằm trên đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng $(P)$, đồng thời M là giao điểm của $\Delta$ với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ là nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;2)$ và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

$d(I,(P)) = \dfrac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 + 4|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{12}{3} = 4$.

Do $d(I,(P)) = 4 > R = 3$ nên mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ không có điểm chung.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua tâm $I(1;2;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Đường thẳng $\Delta$ nhận véctơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overset{\rightarrow}{n} = (2;2;1)$ làm véctơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 2t} \\ {y = 2 + 2t} \\ {z = 2 + t} \end{array} \right.$

Tọa độ giao điểm của $\Delta$ và $(S)$ là nghiệm của hệ phương trình, thay tọa độ của $\Delta$ vào phương trình $(S)$ ta có:

${(1 + 2t - 1)}^{2} + {(2 + 2t - 2)}^{2} + {(2 + t - 2)}^{2} = 9$

$\left. \Leftrightarrow{(2t)}^{2} + {(2t)}^{2} + t^{2} = 9 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9t^{2} = 9\Leftrightarrow t^{2} = 1\Leftrightarrow t = 1 \right.$ hoặc $t = - 1$.

Với $t = 1$, ta có điểm $M_{1}(3;4;3)$.

Khoảng cách từ $M_{1}$ đến $(P)$ là: $d(M_{1},(P)) = \dfrac{\left| {2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 + 4} \right|}{3} = 7$.

Với $t = - 1$, ta có điểm $M_{2}( - 1;0;1)$.

Khoảng cách từ $M_{2}$ đến $(P)$ là: $d(M_{2},(P)) = \dfrac{\left| {2 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 0 + 1 + 4} \right|}{3} = 1$.

Vì yêu cầu đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất nên điểm M cần tìm là điểm có khoảng cách đến mặt phẳng $(P)$ nhỏ nhất trong hai giao điểm.

Do đó $M( - 1;0;1)$.

Suy ra $a = - 1,b = 0,c = 1$.

Giá trị của biểu thức $T = 3a + 2b + c = 3 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 0 + 1 = - 2$.

Đáp án cần điền là: -2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.