Hệ thống gồm các vật như sau được gọi là máng n: - Một máng nghiêng có n lỗ dọc theo đáy,

Câu hỏi số 958714:

Vận dụng

Hệ thống gồm các vật như sau được gọi là máng n:

- Một máng nghiêng có n lỗ dọc theo đáy, tính từ trên cao xuống, các lỗ lần lượt có đường kính là $1,2,3,\ldots,n$.

- n quả bóng có đường kính là các số nguyên dương không lớn hơn n, trong đó có thể có nhiều quả bóng có cùng đường kính.

(hình vẽ dưới đây mô tả máng 4)

Thả lăn n quả bóng từ đỉnh máng xuống, lần lượt từng quả. Đối với mỗi quả bóng, khi lăn đến lỗ có đường kính lớn hơn hoặc bằng đường kính của nó thì nó sẽ lọt vào đồng thời đóng lỗ này lại. Đối với một thứ tự các quả bóng sau khi thả lăn, nếu các quả bóng đều lọt vào lỗ thì thứ tự các quả bóng ấy được gọi là dãy đẹp.

Hai dãy đẹp giống nhau khi và chỉ khi thứ tự đường kính của bóng lọt lỗ là như nhau. Có thể tạo được bao nhiêu dãy đẹp khác nhau đối với máng 5 biết rằng có đúng một quả có đường kính là 4 và một quả có đường kính là 5?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:958714

Phương pháp giải

Điều kiện để một dãy đường kính $(d_{1},d_{2},\ldots,d_{n})$ là dãy đẹp là khi sắp xếp dãy theo thứ tự tăng dần $s_{1} \leq s_{2} \leq \ldots \leq s_{n}$, ta có $s_{i} \leq i$ với mọi $i = 1,\ldots,n$.

Chia bài toán thành hai bước:

- Tìm số dãy đẹp cho 3 quả bóng nhỏ (kích thước $\in \left\{ 1,2,3 \right\}$)

- Chèn 2 quả bóng lớn (4 và 5) vào các vị trí trong dãy.

Giải chi tiết

Bước 1: Tìm số dãy đẹp gồm 3 quả bóng x, y, z có kích thước $\in \left\{ 1,2,3 \right\}$.

Để 3 quả lọt hết vào các lỗ 1, 2, 3, khi sắp xếp tăng dần $s_{1} \leq s_{2} \leq s_{3}$, điều kiện là $s_{1} \leq 1,$$s_{2} \leq 2,$$s_{3} \leq 3.$

Các bộ kích thước $\left\{ s_{1},s_{2},s_{3} \right\}$ thỏa mãn và số hoán vị tương ứng là:

- Bộ $\left\{ 1,1,1 \right\}$: Có 1 dãy là $(1,1,1)$.

- Bộ $\left\{ 1,1,2 \right\}$: Có $\dfrac{3!}{2!} = 3$ dãy.

- Bộ $\left\{ 1,1,3 \right\}$: Có $\dfrac{3!}{2!} = 3$ dãy.

- Bộ $\left\{ 1,2,2 \right\}$: Có $\dfrac{3!}{2!} = 3$ dãy.

- Bộ $\left\{ 1,2,3 \right\}$: Có $3! = 6$ dãy.

Tổng cộng có $1 + 3 + 3 + 3 + 6 = 16$ dãy đẹp cho 3 quả bóng nhỏ.

Bước 2: Chèn các quả bóng đường kính 4 và 5 vào dãy 5 quả.

Vì hai quả bóng có đường kính là 4 và 5 luôn thỏa mãn điều kiện $s_{4} \leq 4$ và $s_{5} \leq 5$ khi đứng ở các vị trí lớn nhất trong bộ số đã sắp xếp, nên việc chèn chúng vào bất kỳ vị trí nào trong dãy cũng không làm thay đổi tính chất "đẹp" của 3 quả bóng ban đầu.

- Có 5 vị trí để đặt quả bóng đường kính 5 vào dãy.

- Sau khi đặt quả bóng 5, có 4 vị trí còn lại để đặt quả bóng đường kính 4.

Số cách chèn là $5.4 = 20$ cách.

Vậy tổng số dãy đẹp khác nhau là: $16.20 = 320$.

Đáp án cần điền là: 320

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.