Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $AB = 1$, $AD = \sqrt{2}$, $SA = 1$ và $SA\bot(ABCD)$.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $AB = 1$, $AD = \sqrt{2}$, $SA = 1$ và $SA\bot(ABCD)$. Gọi M là trung điểm của AD (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (SBM) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hình học không gian thuần túy:
Lập tỉ số khoảng cách từ C và A đến mặt phẳng (SBM)
Tính khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt phẳng (SBM) bằng cách dựng các đường vuông góc phụ và áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi I là giao điểm của AC và BM.
Vì $I \in BM$ và $BM \subset (SBM)$ nên I chính là giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (SBM).
Do ABCD là hình chữ nhật nên $AD \parallel BC$, suy ra $AM \parallel BC$.
Khi đó $\left. \dfrac{IC}{IA} = \dfrac{BC}{AM} = 2\Rightarrow d(C,(SBM)) = 2d(A,(SBM)) \right.$
Để tính $d(A,(SBM))$, trong mặt phẳng $(ABCD)$ kẻ $AH\bot BM$ tại $H$.
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên $SA\bot BM$.
Ta có $BM\bot AH$ và $BM\bot SA$, suy ra $BM\bot(SAH)$.
Mặt phẳng (SBM) chứa BM nên $(SBM)\bot(SAH)$, giao tuyến của hai mặt phẳng này là SH.
Trong mặt phẳng (SAH), kẻ $AK\bot SH$ tại K.
Vì AK vuông góc với giao tuyến SH của hai mặt phẳng vuông góc nên $AK\bot(SBM)$.
Vậy khoảng cách từ A đến (SBM) chính là đoạn AK, tức là $d(A,(SBM)) = AK$.
Xét tam giác ABM vuông tại A có $AB = 1$ và $AM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{AB^{2}} + \dfrac{1}{AM^{2}} = \dfrac{1}{1^{2}} + \dfrac{1}{{(\dfrac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = 1 + 2 = 3 \right.$.
Xét tam giác SAH vuông tại A, có $SA = 1$.
$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{1^{2}} + 3 = 1 + 3 = 4 \right.$.
Suy ra $AK^{2} = \dfrac{1}{4}$, do đó $AK = \dfrac{1}{2}$.
Vậy $d(A,(SBM)) = \dfrac{1}{2}$.
Khoảng cách cần tìm là: $d(C,(SBM)) = 2 \cdot d(A,(SBM)) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$.
Đáp án cần điền là: 1
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
