Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL, ĐGTD ngày 25-26/04/2026
↪ ĐGNL HCM (V-ACT) - Trạm số 6 ↪ ĐGTD Bách khoa (TSA) - Trạm số 7
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một

Câu hỏi số 959045:
Vận dụng

Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ dưới đây:

Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính AB, CD và một cung của parabol đỉnh O, nhận Ox là trục đối xứng; cho $AB = CD = 3cm,$ $OI = 1cm,$ $AD = 3cm,$ $MN = 2cm,$ đơn vị trên hệ trục là 1 cm.

Đúng Sai
a) Phương trình của parabol là $y^{2} = \dfrac{1}{2}x$.
b) Diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là $14cm^{2}$.
c) Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức $\pi{\int_{0}^{2}\dfrac{1}{2}}xdx$.
d) Thể tích của toàn bộ giá để bút (làm tròn tới hàng phần chục) bằng $65,4cm^{3}$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:959045
Phương pháp giải

Xác định tọa độ các điểm trên parabol để tìm phương trình chính tắc $y^{2} = 2px$.

Sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox là $V = \pi{\int_{a}^{b}f}{(x)}^{2}dx$.

Giải chi tiết

a) Đúng: Có $M(2;1)$. Thay vào phương trình $y^{2} = 2px$, ta có

$\left. 1^{2} = 2p.2\Rightarrow 2p = \dfrac{1}{2} \right.$. Vậy phương trình parabol là $y^{2} = \dfrac{1}{2}x$

b) Sai: Diện tích hình vuông ABCD là $3^{2} = 9cm^{2}$

Diện tích hai nửa đường tròn đường kính AB và đường kính CD là $\pi \cdot R^{2} = \pi \cdot 1,5^{2} = \dfrac{9\pi}{4}cm^{2}$

Diện tích phần lõm parabol (giới hạn bởi $x \in \lbrack 0;2\rbrack,y^{2} = \dfrac{1}{2}x$) là $2{\int_{0}^{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}x}}dx$ $cm^{2}$

Tổng diện tích mặt cắt: $S = 9 + \dfrac{{9\pi }}{4} - 2\int_0^2 {\sqrt {\dfrac{1}{2}x} } dx \approx 13,4{\mkern 1mu} c{m^2}$

c) Đúng: Thể tích phần lõm sinh ra khi quay cung parabol từ $x = 0$ đến $x = 2$ quanh trục Ox là $V = \pi{\int_{0}^{2}y^{2}}dx = \pi{\int_{0}^{2}\dfrac{1}{2}}xdx$.

d) Sai: Khối được tạo thành từ việc quay hình chữ nhật $y = 1,5$ + nắp nửa đường tròn phía trên - phần lõm parabol.

Có điểm $A( - 1;1,5)$, điểm $B(2;1,5)$

Tâm của đường tròn đường kính AB là $K(0,5;1,5)$

Bán kính $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5$

Phương trình nửa đường tròn phía trên: ${(x - 0,5)}^{2} + {(y - 1,5)}^{2} = 1,5^{2}$

Suy ra ta có $y = 1,5 + \sqrt{2,25 - {(x - 0,5)}^{2}}$ với $x \in \lbrack - 1;2\rbrack$

Suy ra thể tích $V_{1} = \pi{\int_{- 1}^{2}\left( {1,5 + \sqrt{2,25 - {(x - 0,5)}^{2}}} \right)^{2}}dx$

Thể tích phần lõm được tạo bởi parabol $y^{2} = \dfrac{1}{2}x$: $V_{2} = \pi{\int_{0}^{2}\dfrac{1}{2}}xdx = \pi cm^{3}$

Thể tích cần tính là $V = {V_1} - {V_2} = \pi \int_{ - 1}^2 {{{\left( {1,5 + \sqrt {2,25 - {{(x - 0,5)}^2}} } \right)}^2.dx}} - \pi \approx 65,5{\mkern 1mu} ({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})$

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn