Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL HSA; V-ACT; Sư phạm Hà Nội
↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 6 ↪ ĐGNL Hồ Chí Minh (V-ACT) - Trạm 7 ↪ ĐGNL Sư phạm Hà Nội - Trạm số 3
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A( - 2;0;0)$, $B(0; - 2;0)$, $C(0;0;

Câu hỏi số 959046:
Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A( - 2;0;0)$, $B(0; - 2;0)$, $C(0;0; - 2)$. Điểm D khác gốc tọa độ sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc.

Đúng Sai
a) Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{2} = - 1$.
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(Oxy)$ bằng $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Tọa độ điểm D là $\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$.
d) Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có $a + b + c = - 1$.

Đáp án đúng là: Đ; Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:959046
Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai mặt phẳng thông qua vectơ pháp tuyến.

Giải hệ phương trình điều kiện vuông góc để tìm tọa độ điểm D.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách đều bốn đỉnh của tứ diện.

Giải chi tiết

a) Đúng: Mặt phẳng $(ABC)$ cắt các trục tại A, B, C nên có phương trình:

$\left. \dfrac{x}{- 2} + \dfrac{y}{- 2} + \dfrac{z}{- 2} = 1\Leftrightarrow\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{2} = - 1 \right.$.

b) Đúng: Vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là $\overset{\rightarrow}{n_{1}} = (1;1;1)$.

Vectơ pháp tuyến của $(Oxy)$ là $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1)$.

Ta có $\cos\left( {ABC,Oxy} \right) = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

c) Sai: Gọi $D(x;y;z)$. Ta có $DA\bot DB,$$DB\bot DC,$$DC\bot DA$ nên có hệ phương trình:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x + 2y = 0} \\ {x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y + 2z = 0} \\ {x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x + 2z = 0} \end{array} \right.\Rightarrow x = y = z \right.$

$\left. \Rightarrow 3x^{2} + 4x = 0\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0\text{~(loai)}} \\ {x = \dfrac{- 4}{3}} \end{array} \right. \right.$$\left. \Rightarrow x = y = z = \dfrac{- 4}{3} \right.$

Vậy $D\left( {- \dfrac{4}{3}; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right)$.

d) Đúng: Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cách đều 4 đỉnh A, B, C, D.

Do $IA = IB = IC$ nên $a = b = c$, hay $I(m;m;m)$

Ta có $IA^{2} = {(m + 2)}^{2} + m^{2} + m^{2} = 3m^{2} + 4m + 4$.

$ID^{2} = \left( {m + \dfrac{4}{3}} \right)^{2} + \left( {m + \dfrac{4}{3}} \right)^{2} + \left( {m + \dfrac{4}{3}} \right)^{2} = 3m^{2} + 8m + \dfrac{16}{3}$.

Có phương trình:

$\left. IA^{2} = ID^{2}\Leftrightarrow \right.$$\left. 3m^{2} + 4m + 4 = 3m^{2} + 8m + \dfrac{16}{3}\Leftrightarrow m = \dfrac{- 1}{3} \right.$.

Ta có $a = b = c = \dfrac{- 1}{3}$$\left. \Rightarrow a + b + c = 3.\dfrac{- 1}{3} = - 1 \right.$.

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn