Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(6;0;4)$, $B( - 3; - 2;1)$ và mặt phẳng

Câu hỏi số 959048:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(6;0;4)$, $B( - 3; - 2;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + 5z + 1 = 0$. Biết M là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính độ dài đoạn OM (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:959048

Phương pháp giải

Xét vị trí của hai điểm A, B so với mặt phẳng $(P)$. Nếu chúng nằm cùng phía, lấy đối xứng một điểm qua $(P)$, giả sử là A', khi đó $MA + MB = MA' + MB$.

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi A', M, B thẳng hàng.

Tìm tọa độ M là giao điểm của đường thẳng A'B và mặt phẳng $(P)$.

Tính độ dài OM.

Giải chi tiết

Xét biểu thức $f(x,y,z) = x + y + 5z + 1$

Ta có $f(A) = 6 + 0 + 5.4 + 1 = 27 > 0$ và $f(B) = - 3 - 2 + 5.1 + 1 = 1 > 0$

Hai điểm A, B nằm cùng phía so với $(P)$

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua $(P)$

Đường thẳng d qua A vuông góc $(P)$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 6 + t} \\ {y = t} \\ {z = 4 + 5t} \end{array} \right.$

Giao điểm H của đường thẳng d và $(P)$ thỏa mãn:

$(6 + t) + t + 5(4 + 5t) + 1 = 0$ $\left. \Leftrightarrow 27t + 27 = 0\Leftrightarrow t = - 1 \right.$

Suy ra $H(5; - 1; - 1)$.

A' đối xứng A qua H nên $A' = 2H - A = (4; - 2; - 6)$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B} = - 7(1;0; - 1)$. Phương trình đường thẳng A'B: $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 3 + k} \\ {y = - 2,} \\ {z = 1 - k} \end{array} \right.$.

M là giao điểm của A'B và $(P)$: $\left. ( - 3 + k) - 2 + 5(1 - k) + 1 = 0\Leftrightarrow k = 0,25 \right.$.

Tọa độ $M( - 2,75; - 2;0,75)$.

Độ dài $OM = \sqrt{{( - 2,75)}^{2} + {( - 2)}^{2} + 0,75^{2}} \approx 3,48$

Đáp án cần điền là: 3,48

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.