Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD)$, biết $SC = a\sqrt{3}$. Gọi M, N, P, Q
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD)$, biết $SC = a\sqrt{3}$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Thể tích của khối chóp A.MNPQ có dạng $\dfrac{ma^{3}}{n}$ (với m, n là các số tự nhiên; phân số m/n là phân số tối giản). Tính tổng $m + n$.
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian.
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz có gốc trùng với A, các trục lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD, AS.
Xác định tọa độ các điểm M, N, P, Q, sau đó tính thể tích khối chóp A.MNPQ bằng công thức tính thể tích khối đa diện theo tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$.
Khi đó $C(a;a;0)$. Vì $SA\bot(ABCD)$ nên S nằm trên trục Oz, gọi $S(0;0;h)$.
Ta có $AC = a\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông SAC:
$\left. SA^{2} = SC^{2} - AC^{2} = {(a\sqrt{3})}^{2} - {(a\sqrt{2})}^{2} = a^{2}\Rightarrow h = a \right.$.
Vậy $S(0;0;a)$.
Tọa độ các trung điểm:
M là trung điểm $\left. SB\Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right) \right.$; N là trung điểm $\left. SD\Rightarrow N\left( {0;\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2}} \right) \right.$
P là trung điểm $\left. CD\Rightarrow P\left( {\dfrac{a}{2};a;0} \right) \right.$; Q là trung điểm $\left. BC\Rightarrow Q\left( {a;\dfrac{a}{2};0} \right) \right.$
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nằm trên mặt phẳng có phương trình $x + y + 2z = \dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp A.MNPQ bằng tổng thể tích hai khối tứ diện A.MNQ và A.NPQ:
$\left. V_{A.MNQ} = \dfrac{1}{6} \middle| \lbrack\overset{\rightarrow}{AM},\overset{\rightarrow}{AN}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{AQ} \middle| = \dfrac{1}{6}\left| {- \dfrac{3a^{3}}{8}} \right| = \dfrac{a^{3}}{16} \right.$
$\left. V_{A.NPQ} = \dfrac{1}{6} \middle| \lbrack\overset{\rightarrow}{AN},\overset{\rightarrow}{AP}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{AQ} \middle| = \dfrac{1}{6}\left| {- \dfrac{3a^{3}}{8}} \right| = \dfrac{a^{3}}{16} \right.$
Tổng thể tích $V = \dfrac{a^{3}}{16} + \dfrac{a^{3}}{16} = \dfrac{a^{3}}{8}$
Vậy $m = 1$, $n = 8$. Tổng $m + n = 1 + 8 = 9$.
Đáp án cần điền là: 9
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
