Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, số đo góc $ABC = 60^{o}$. Biết rằng $C'A =

Câu hỏi số 960429:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, số đo góc $ABC = 60^{o}$. Biết rằng $C'A = C'B = C'C$. Góc giữa mặt phẳng $(BCC'B')$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{o}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $6\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $a\sqrt{2}$, giá trị của a bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960429

Phương pháp giải

Từ giả thiết $C'A = C'B = C'C$, suy ra hình chiếu của C' lên đáy $(ABC)$ là tâm H của tam giác đều ABC.

Sử dụng tính chất khoảng cách và góc giữa hai mặt phẳng để tìm cạnh đáy và chiều cao của lăng trụ.

Giải chi tiết

Gọi x là độ dài cạnh của hình thoi ABCD. Tam giác ABC đều cạnh x

Gọi H là tâm của $\Delta ABC$, khi đó $C'H\bot(ABCD)$

Gọi M là trung điểm BC, ta có

$HM\bot BC$ và $HM = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x\sqrt{3}}{2} = \dfrac{x\sqrt{3}}{6}$

Có $((BCC'B'),(ABC)) = \angle C'MH = 45^{o}$

Chiều cao lăng trụ $h = C'H = HM \cdot \tan 45^{o} = \dfrac{x\sqrt{3}}{6}$

Vì $AA' \parallel CC'$ nên $d(AA',BC) = d(A,(BCC'B'))$

Gọi $h_{a}$ là chiều cao từ A trong $\Delta ABC$, $h_{a} = \dfrac{x\sqrt{3}}{2}$

Khoảng cách $d(A,(BCC'B')) = h_{a} \cdot \sin 45^{{^\circ}} = \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{x\sqrt{6}}{4}$

Có $\left. \dfrac{x\sqrt{6}}{4} = 6\sqrt{3}\Rightarrow x\sqrt{2} = 24\Rightarrow x = 12\sqrt{2} \right.$

Diện tích đáy $S = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} = 144\sqrt{3}$

Chiều cao $h = \dfrac{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{6}$

Thể tích $V = S.h = 144\sqrt{3}.2\sqrt{6} = 864\sqrt{2}$.

Đáp án cần điền là: 864

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.