Cho hình nón có bán kính đáy $OA = 6cm$ và chiều cao $SO = 8cm$. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt

Câu hỏi số 960433:

Vận dụng

Cho hình nón có bán kính đáy $OA = 6cm$ và chiều cao $SO = 8cm$. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục SO và cách trục SO một khoảng bằng 3cm ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh S bằng bao nhiêu $cm^{3}$? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960433

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tính thể tích vật thể bằng tích phân: $V = {\int_{a}^{b}S}(x)dx$.

Trong đó $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục cao độ tại điểm có hoành độ $x$.

Giải chi tiết

Gọi x là khoảng cách từ mặt phẳng đáy của hình nón đến thiết diện đang xét ($0 \leq x \leq 8$).

Tại x, gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện song song với đáy.

Ta có tỉ số $\left. \dfrac{r}{6} = \dfrac{8 - x}{8}\Rightarrow r = \dfrac{6}{8}(8 - x) = 6 - \dfrac{3}{4}x \right.$

Mặt phẳng cắt song song với trục SO và cách trục một khoảng $d = 3$ cm.

Để mặt phẳng này có thể cắt được hình nón, yêu cầu bán kính thiết diện $r \geq 3$:

$\left. 6 - \dfrac{3}{4}x \geq 3\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}x \leq 3\Leftrightarrow x \leq 4 \right.$

Vậy phần vật thể không chứa đỉnh S nằm trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = 4$

Thiết diện tại mỗi cao độ x là một hình viên phân của đường tròn bán kính r, giới hạn bởi dây cung MN cách tâm I một khoảng bằng 3.

Gọi $\alpha$ là góc ở tâm. Ta có $\left. \cos\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{3}{r}\Rightarrow\dfrac{\alpha}{2} = \arccos\left( \dfrac{3}{r} \right) \right.$

=> Diện tích hình quạt: $S_{q} = \dfrac{\alpha}{2} \cdot r^{2} = r^{2} \cdot \arccos\left( \dfrac{3}{r} \right)$

Có $MN = 2\sqrt{r^{2} - 3^{2}} = 2\sqrt{r^{2} - 9}$

=> Diện tích IMN: $S_{\bigtriangleup IMN} = \dfrac{1}{2}.3.MN = 3\sqrt{r^{2} - 9}$

Diện tích thiết diện: $S(x) = S_{q} - S_{\bigtriangleup IMN} = r^{2}\arccos\left( \dfrac{3}{r} \right) - 3\sqrt{r^{2} - 9}$

Thể tích cần tìm là:

$\begin{array}{l} {V = {\int_{0}^{4}S}(x)dx = {\int_{0}^{4}{\left( {r^{2}\arccos\left( \dfrac{3}{r} \right) - 3\sqrt{r^{2} - 9}} \right)dx}}} \\ {= {\int_{0}^{4}\left\lbrack {\left( {6 - \dfrac{3}{4}x} \right)^{2}\arccos\left( \dfrac{3}{6 - \dfrac{3}{4}x} \right) - 3\sqrt{\left( {6 - \dfrac{3}{4}x} \right)^{2} - 9}} \right\rbrack}dx \approx 33,2} \end{array}$

Đáp án cần điền là: 33,2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.