Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi có $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$, cạnh bên $SA = 3\sqrt{3}$ cm
Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi có $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$, cạnh bên $SA = 3\sqrt{3}$ cm và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Số đo góc nhị diện [S, CD, B] bằng $60^{{^\circ}}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Sử dụng góc nhị diện để tính cạnh của hình thoi đáy. Sau đó, chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SB về khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) dựa vào tính chất song song, rồi dựng hình chiếu vuông góc để tính toán.
Gọi độ dài cạnh của hình thoi ABCD là a.
Vì $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$ nên các tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta ACD$ là các tam giác đều cạnh a.
Kẻ $AH\bot CD$ tại $H$.
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên $SA\bot CD$.
Suy ra $CD\bot(SAH)$, do đó $CD\bot SH$.
Từ đó, góc phẳng của góc nhị diện [S, CD, B] (chính là góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt đáy (ABCD) vì A, B cùng phía so với CD) là $\widehat{SHA} = 60^{{^\circ}}$.
Trong tam giác đều ACD cạnh a, đường cao $AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác SAH vuông tại A, ta có:
$AH = \dfrac{SA}{\tan 60^{{^\circ}}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ (cm).
Do đó: $\left. \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = 3\Rightarrow a = 2\sqrt{3} \right.$ (cm).
Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Vì $AD \parallel BC$ nên $AD \parallel (SBC)$.
Suy ra $d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))$.
Kẻ $AK\bot BC$ tại $K$.
Vì $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên đường cao $AK = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = 3$ (cm).
Từ $A$ kẻ $AI\bot SK$ tại $I$.
Ta có $BC\bot AK$ và $BC\bot SA$ nên $BC\bot(SAK)$.
Suy ra $BC\bot AI$.
Vì $AI\bot SK$ và $AI\bot BC$ nên $AI\bot(SBC)$.
Khi đó khoảng cách $d(A,(SBC)) = AI$.
Xét tam giác SAK vuông tại A, đường cao AI:
$\dfrac{1}{AI^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{{(3\sqrt{3})}^{2}} + \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{27}$
$\left. \Rightarrow AI^{2} = \dfrac{27}{4}\Rightarrow AI = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,598 \right.$ (cm).
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được 2,6 cm.
Đáp án cần điền là: 2,6
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
