Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ

Câu hỏi số 960644:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ . Mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với 1km . Một máy bay đang ở vị trí $A( - 506; - 35;8)$ , chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}(91;75;0)$ và bay theo hướng về phía đài kiểm soát không lưu. Máy bay sẽ được hiển thị trên màn hình ra-đa nếu nằm trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu không quá 417 km. Gọi M là vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa. Thời gian máy bay di chuyển từ vị trí A đến M là bao nhiêu biết rằng vận tốc của máy bay là $800km/h$ . (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của phút)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960644

Phương pháp giải

Viết phương trình tham số của đường thẳng biểu diễn quỹ đạo chuyển động của máy bay.

Tìm tọa độ điểm M theo tham số t bằng cách sử dụng điều kiện khoảng cách $OM \leq 417$.

Tính độ dài quãng đường AM và thời gian di chuyển theo công thức $T = \dfrac{S}{v}$.

Giải chi tiết

Đường thẳng đi qua $A( - 506; - 35;8)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}(91;75;0)$ có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 506 + 91t} \\ {y = - 35 + 75t} \\ {z = 8} \end{array} \right.$ (với $t > 0$ do máy bay bay hướng về phía đài kiểm soát).

Gọi $M$ là vị trí của máy bay trên quỹ đạo, suy ra $M( - 506 + 91t; - 35 + 75t;8)$.

Máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa khi khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O thỏa mãn $OM \leq 417$, tương đương $OM^{2} \leq 417^{2}$.

Ta có bất phương trình:

${( - 506 + 91t)}^{2} + {( - 35 + 75t)}^{2} + 8^{2} \leq 173889$

$\left. \Leftrightarrow 13906t^{2} - 97342t + 83436 \leq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 1 \leq t \leq 6 \right.$.

Vị trí đầu tiên máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa ứng với thời điểm t nhỏ nhất, tức là $t = 1$.

Khi $t = 1$, vectơ $\overset{\rightarrow}{AM} = (91;75;0)$. Quãng đường máy bay di chuyển từ A đến M là:

$\left. AM = \middle| \overset{\rightarrow}{AM} \middle| = \sqrt{91^{2} + 75^{2} + 0^{2}} = \sqrt{13906} \right.$ (km)

Thời gian máy bay bay từ A đến $M$ là: $T = \dfrac{AM}{v} = \dfrac{\sqrt{13906}}{800}$ (giờ).

Đổi sang phút: $T = \dfrac{\sqrt{13906}}{800} \cdot 60 \approx 8,844$ (phút).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút ta được $9$ phút.

Đáp án cần điền là: 9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.