Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, $AB = 2a$, $AD = DC = CB = a$, SA vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 960667:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, $AB = 2a$, $AD = DC = CB = a$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 3a$. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng $\dfrac{xa}{y}$ (với $x,y \in {\mathbb{N}}^{*}$, $\dfrac{x}{y}$ tối giản). Tính $x + y + xy$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960667

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với đường thẳng này và chứa đường thẳng kia.

Giải chi tiết

Vì $\left. \left\{ \begin{array}{l} {CD = BM = a} \\ \left. CD \middle| \middle| BM \right. \end{array} \right.\Rightarrow BCDM \right.$ là hình bình hành $\left. \Rightarrow DM \middle| \middle| BC \right.$

$d\left( {DM;SB} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$

Dựng $AH \bot SC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in SC} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$

Vì $\left. \left\{ \begin{array}{l} {AM = DC = a} \\ \left. CD \middle| \middle| AM \right. \end{array} \right.\Rightarrow ADCM \right.$ là hình bình hành $\left. \Rightarrow DM \middle| \middle| BC \right.$

$\left. \Rightarrow CM = AD = a\Rightarrow CM = AM = MB = \dfrac{1}{2}AB\Rightarrow\Delta ABC \right.$ vuông tại C

$\left. \Rightarrow AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\ \ = \sqrt{\left( {2a} \right)^{2} - a^{2}}\ \ = a\sqrt{3} \right.$

Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AH \bot SC$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AC^{2}} = \dfrac{1}{\left( {3a} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( {a\sqrt{3}} \right)^{2}} = \dfrac{4}{9a^{2}} \right.$

$\left. \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \dfrac{3a}{2} \right.$

$\left. \Rightarrow d\left( {DM;SM} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}{2} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{2} = \dfrac{3a}{4} \right.$.

Vậy $x + y + xy = 3 + 4 + 3.4 = 19$

Đáp án cần điền là: 19

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.