Trên trục Ox lấy các điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ sao cho $OA_{n} = n$, với mỗi số

Câu hỏi số 963296:

Vận dụng

Trên trục Ox lấy các điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ sao cho $OA_{n} = n$, với mỗi số nguyên dương n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa trục Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính $OA_{n}$ với $n = 1,2,3,...$

Kí hiệu:

$u_{1}$ là diện tích của nửa hình tròn đường kính $OA_{1}$.

$u_{n}$ là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $OA_{n - 1}$, nửa đường tròn đường kính $OA_{n}$ và tia Ox, với mỗi $n = 2,3,...$

$r_{n}$ là bán kính của đường tròn đường kính $OA_{n}$.

$u_{1} = \dfrac{\pi}{8}$.

B. $r_{n} = n - \dfrac{1}{2}$.

C. $u_{n} = \dfrac{\pi(4r_{n} - 1)}{8}$.

$u_{2} + u_{4} + ... + u_{100} > 1983$.

Đáp án đúng là: A; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963296

Phương pháp giải

Sử dụng công thức diện tích hình tròn $S = \pi r^{2}$ để tính diện tích nửa hình tròn $S_{n?a} = \dfrac{1}{2}\pi r^{2}$.

Xác định bán kính $r_{n}$ từ đường kính $OA_{n} = n$.

Tính diện tích $u_{n}$ bằng cách lấy hiệu diện tích của hai nửa hình tròn kế tiếp.

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng để kiểm tra mệnh đề d.

Giải chi tiết

a) Đúng: Nửa đường tròn đường kính $OA_{1}$ có độ dài đường kính $OA_{1} = 1$

Suy ra bán kính là $r_{1} = \dfrac{1}{2}$.

Diện tích nửa hình tròn này là $u_{1} = \dfrac{1}{2}\pi r_{1}^{2} = \dfrac{1}{2}\pi\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} = \dfrac{\pi}{8}$.

b) Sai: Đường tròn đường kính $OA_{n}$ có đường kính $d_{n} = OA_{n} = n$.

Bán kính của đường tròn này là $r_{n} = \dfrac{d_{n}}{2} = \dfrac{n}{2}$.

c) Đúng: Diện tích nửa hình tròn đường kính $OA_{n}$:

$S_{n} = \dfrac{1}{2}\pi r_{n}^{2} = \dfrac{1}{2}\pi\left( \dfrac{n}{2} \right)^{2} = \dfrac{\pi n^{2}}{8}$.

Với mỗi $n \geq 2$, diện tích phần hình giới hạn $u_{n}$ là:

$u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \dfrac{\pi n^{2}}{8} - \dfrac{\pi{(n - 1)}^{2}}{8} = \dfrac{\pi}{8}\lbrack n^{2} - (n^{2} - 2n + 1)\rbrack = \dfrac{\pi(2n - 1)}{8}$.

Ta có $\left. r_{n} = \dfrac{n}{2}\Rightarrow n = 2r_{n} \right.$.

Thay vào biểu thức của $u_{n}$: $u_{n} = \dfrac{\pi(2 \cdot 2r_{n} - 1)}{8} = \dfrac{\pi(4r_{n} - 1)}{8}$.

d) Đúng: Ta có $u_{n} = \dfrac{\pi(2n - 1)}{8}$. Xét tổng $S = u_{2} + u_{4} + ... + u_{100}$.

S là tổng của 50 số hạng đầu của một cấp số cộng với số hạng đầu là $u_{2} = \dfrac{3\pi}{8}$,

công sai $d = u_{n + 2} - u_{n} = \dfrac{\pi(2(n + 2) - 1)}{8} - \dfrac{\pi(2n - 1)}{8} = \dfrac{\pi}{2}$.

Số hạng cuối cùng là $u_{100} = \dfrac{\pi(2 \cdot 100 - 1)}{8} = \dfrac{199\pi}{8}$.

Tổng $S = \dfrac{50}{2}(u_{2} + u_{100}) = 25\left( {\dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{199\pi}{8}} \right) = \dfrac{2525\pi}{4} \approx 1983,13 > 1983$.

Đáp án cần chọn là: A; C; D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.