Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Xét phương trình $\log_{2}\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right) = \dfrac{10}{a} \cdot \left( \dfrac{x}{4}

Câu hỏi số 963760:
Vận dụng

Xét phương trình $\log_{2}\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right) = \dfrac{10}{a} \cdot \left( \dfrac{x}{4} \right)^{b}$ trên khoảng $( - 4;4)$, với $a$ và $b$ là hai số nguyên dương đều bé hơn 20. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: A; C; D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:963760
Phương pháp giải

Đặt vế trái là $f(x) = \log_{2}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ và vế phải là $g(x) = \dfrac{10}{a}\left( \dfrac{x}{4} \right)^{b}$.

Sử dụng các tính chất về hàm số chẵn, hàm số lẻ và tương giao đồ thị hàm số để xét số nghiệm

Giải chi tiết

Đặt vế trái là $f(x) = \log_{2}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ và vế phải là $g(x) = \dfrac{10}{a}\left( \dfrac{x}{4} \right)^{b}$.

Xét hàm $f(x)$: Là hàm số lẻ, đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đạo hàm $f'(x) = \dfrac{1}{\ln 2 \cdot \sqrt{x^{2} + 1}} > 0$.

Đạo hàm cấp hai $f''(x) < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x > 0 \Rightarrow $ hàm $f(x)$ lõm trên $(0;4)$.

Ta có $f(0) = 0$; $f'(0) = \dfrac{1}{\ln 2} \approx 1,44$; $f(4) = \log_{2}(4 + \sqrt{17}) \approx 3,022$.

Phân tích các ý:

1 (Đúng): Nếu $b$ chẵn, $g(x)$ là hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng và $g(x) \geq 0$.

Do $f(x)$ lẻ nên phần đồ thị $x < 0$ của $f(x)$ nằm dưới trục hoành

$\Rightarrow$ Phương trình $f(x) = g(x)$ không có nghiệm âm và luôn có nghiệm $x = 0$

Trên $(0;4)$, do $f(x)$ lõm và $g(x)$ lồi nên cắt nhau tối đa 1 điểm. Vậy có tối đa 2 nghiệm.

2 (Sai): Nếu $b$ lẻ, $g(x)$ là hàm số lẻ.

Nếu có nghiệm dương $x_{0}$ thì cũng có nghiệm âm $- x_{0}$.

Kết hợp nghiệm $x = 0$, phương trình hoàn toàn có thể có 3 nghiệm.

3 (Đúng): Để có đúng 3 nghiệm thì $b$ phải lẻ (tức $b \in \left\{ 1,3,5,...,19 \right\}$) và phương trình có đúng 1 nghiệm trên $(0;4)$.

Trường hợp 1: $b \geq 3$ (có 9 giá trị của $b$).

Vì 2 đồ thị đều xuất phát từ gốc toạ độ mà hệ số góc của tiếp tuyến hàm $g(x)$ nhỏ hơn $f(x)$ ( do $g'(0) = 0 < f'(0) \approx 1,44$) nên đồ thị $g(x)$ luôn nằm dưới $f(x)$.

Để cắt nhau đúng 1 lần trên $(0;4)$ thì $g(4) > f(4)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{10}{a} > \log_{2}(4 + \sqrt{17}) \approx 3,022\Rightarrow a < 3,3 \right.$

Vì $a$ nguyên dương nên $a \in \left\{ 1;2;3 \right\}$. Vậy có $9 \times 3 = 27$ cặp.

Trường hợp 2: $b = 1$. Khi đó $g(x) = \dfrac{10}{4a}x = \dfrac{2,5}{a}x$.

Để cắt 1 lần thì cần hệ số góc nhỏ hơn $f'(0)$ và giá trị tại biên lớn hơn $f(4)$.

Tức là: $\left. \dfrac{2,5}{a} < \dfrac{1}{\ln 2}\Rightarrow a > 1,73 \right.$ và $a < 3,3$.

Suy ra $a \in \left\{ 2;3 \right\}$. Vậy có $1 \times 2 = 2$ cặp.

Tổng cộng có: $27 + 2 = 29$ cặp.

4 (Đúng): Thay $a = 1$. Dựa vào phân tích trên, $a = 1$ không thỏa mãn ở TH2 ($b = 1$), mà chỉ thỏa mãn ở TH1 ($b \in \left\{ 3,5,...,19 \right\}$).

Vậy có đúng 9 giá trị của $b$.

5 (Đúng): Thay $a = 3$. Giá trị này thỏa mãn cả TH1 (9 giá trị $b$) và TH2 ($b = 1$).

Tổng cộng có $9 + 1 = 10$ giá trị của $b$.

Đáp án cần chọn là: A; C; D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn