Trên trục Os, cho hai chất điểm chuyển động có tọa độ theo thời gian t (giây) lần lượt là

Câu hỏi số 963759:

Vận dụng

Trên trục Os, cho hai chất điểm chuyển động có tọa độ theo thời gian t (giây) lần lượt là $s_{1}(t) = \dfrac{4t}{t^{2} + 1}$ và $s_{2}(t) = t^{2} - 2t + 3$ với $t \geq 0$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Trong 4 giây đầu tiên, hai chất điểm không gặp nhau.

B. Khi chất điểm thứ nhất đạt tọa độ lớn nhất thì chất điểm thứ hai có tọa độ $s_{2} = 2$.

C. Trong 2 giây đầu tiên, khoảng cách giữa hai chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 2.

D. Tọa độ của chất điểm thứ hai luôn tăng trong 3 giây đầu tiên.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963759

Phương pháp giải

Tìm thời điểm hai chất điểm gặp nhau bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm $s_{1}(t) = s_{2}(t)$.

Sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm giá trị lớn nhất (Max) và giá trị nhỏ nhất (Min) của các hàm số tọa độ $s_{1}(t)$, $s_{2}(t)$.

Lập hàm khoảng cách giữa hai chất điểm $\left. d(t) = \middle| s_{1}(t) - s_{2}(t) \right|$ và đánh giá cực trị trên các khoảng thời gian được cho.

Giải chi tiết

1 (Sai): Hai chất điểm gặp nhau khi tọa độ của chúng bằng nhau:

$\left. s_{1}(t) = s_{2}(t)\Leftrightarrow\dfrac{4t}{t^{2} + 1} = t^{2} - 2t + 3 \right.$

Dễ thấy tại thời điểm $t = 1$ (giây), ta có $s_{1}(1) = \dfrac{4}{1 + 1} = 2$ và $s_{2}(1) = 1^{2} - 2(1) + 3 = 2$.

Hai tọa độ bằng nhau nên hai chất điểm có gặp nhau tại $t = 1$ (nằm trong 4 giây đầu tiên).

2 (Đúng): Ta tìm tọa độ lớn nhất của chất điểm thứ nhất $s_{1}(t)$ bằng cách xét đạo hàm:

$s_{1'}(t) = \dfrac{4(t^{2} + 1) - 4t(2t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = \dfrac{4 - 4t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\left. s_{1'}(t) = 0\Leftrightarrow 4 - 4t^{2} = 0\Rightarrow t = 1 \right.$ (do điều kiện $t \geq 0$).

Qua $t = 1$, đạo hàm $s_{1'}(t)$ đổi dấu từ dương sang âm, nên $s_{1}(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = 1$.

Tại thời điểm $t = 1$ này, tọa độ của chất điểm thứ hai là $s_{2}(1) = 1^{2} - 2(1) + 3 = 2$.

3 (Sai): Khoảng cách giữa hai chất điểm là $\left. d(t) = \middle| s_{2}(t) - s_{1}(t) \right|$.

Ta có $s_{1}(t) \leq 2$ (giá trị lớn nhất là 2) và $s_{2}(t) = {(t - 1)}^{2} + 2 \geq 2$ (giá trị nhỏ nhất là 2).

Do đó $s_{2}(t) \geq s_{1}(t)$ với mọi $t \geq 0$, dấu bằng xảy ra khi $t = 1$.

Suy ra biểu thức khoảng cách có thể phá trị tuyệt đối: $d(t) = s_{2}(t) - s_{1}(t) = t^{2} - 2t + 3 - \dfrac{4t}{t^{2} + 1}$.

Đạo hàm hàm khoảng cách:

$d'(t) = 2t - 2 - \dfrac{4 - 4t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 2(t - 1) + \dfrac{4(t - 1)(t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = (t - 1)\left\lbrack {2 + \dfrac{4(t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}} \right\rbrack$

Vì $t \geq 0$ nên biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương. Vậy $\left. d'(t) = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$.

Trên đoạn [0; 2], hàm $d(t)$ nghịch biến trên $(0;1)$ và đồng biến trên $(1;2)$.

Khoảng cách lớn nhất sẽ là một trong hai giá trị tại biên:

$d(0) = s_{2}(0) - s_{1}(0) = 3 - 0 = 3$

$d(2) = s_{2}(2) - s_{1}(2) = 3 - 1,6 = 1,4$

Vậy khoảng cách lớn nhất trong 2 giây đầu tiên là 3, không phải 2.

4 (Sai): Đạo hàm của chất điểm thứ hai là $s_{2'}(t) = 2t - 2$.

Trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 1$, ta có $s_{2'}(t) < 0$, tức là tọa độ $s_{2}$ đang giảm (chất điểm chuyển động ngược chiều dương) chứ không phải luôn tăng.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.