Một mô hình $AI$ gồm một hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ và một điểm di

Câu hỏi số 964458:

Vận dụng

Một mô hình $AI$ gồm một hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ và một điểm di động $M$ hiện đang nằm trùng với đỉnh $A$ của hình lập phương. Điểm $M$ di động theo quy tắc sau, mỗi lần di động nó sẽ đi theo một cạnh của hình lập phương và dừng lại ở đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất để sau $9$ lần di chuyển nó dừng lại ở đỉnh $C'$ (quy tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 0,25

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964458

Phương pháp giải

Sử dụng hệ trục tọa độ để mô hình hóa các đỉnh của hình lập phương, trong đó đỉnh xuất phát là gốc tọa độ và đỉnh đích có tọa độ $(1;1;1)$.

Mỗi bước di chuyển trên một cạnh tương ứng với việc thay đổi trạng thái của đúng một trong ba tọa độ. Xác định tổng số đường đi có thể có sau $9$ bước.

Sử dụng tổ hợp và hoán vị lặp (hoặc chia trường hợp) để tính số đường đi thuận lợi thỏa mãn điều kiện đến được đích.

Giải chi tiết

Giả sử ta gắn hình lập phương vào hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho đỉnh xuất phát $A(0;0;0)$. Các cạnh của hình lập phương tương ứng với việc thay đổi đúng $1$ đơn vị ở một trong $3$ trục tọa độ. Đỉnh $C'$ là đỉnh đối diện với $A$ qua tâm hình lập phương nên sẽ có tọa độ là $C'(1;1;1)$.

Mỗi lần di chuyển từ một đỉnh sang đỉnh kề nó tương đương với việc chọn thay đổi đúng một giá trị tọa độ của đỉnh đó (từ $0$ sang $1$ hoặc ngược lại từ $1$ về $0$).

Điểm $M$ di chuyển $9$ lần, tức là có $9$ lần thay đổi tọa độ. Tại mỗi bước có $3$ hướng đi (tương ứng với việc thay đổi $1$ trong $3$ tọa độ $x, y, z$).

Do đó, tổng số đường đi (số phần tử của không gian mẫu) là: $n(\Omega) = 3^9 = 19683$

Để sau $9$ bước, điểm $M$ dừng lại tại đỉnh $C'(1;1;1)$, thì giá trị của cả $3$ tọa độ $x, y, z$ đều phải có sự thay đổi thực tế từ $0$ thành $1$.

Điều này đồng nghĩa với việc số lần chọn thay đổi của mỗi tọa độ $x, y, z$ phải là một số nguyên dương lẻ.

Gọi $a, b, c$ lần lượt là số lần thay đổi của các tọa độ $x, y, z$ trong $9$ bước. Ta có:

$a + b + c = 9$ (với $a, b, c$ là các số lẻ).

Các trường hợp của bộ số $(a; b; c)$ có thể xảy ra là các hoán vị của các tập hợp $\{1; 1; 7\}$, $\{1; 3; 5\}$ và $\{3; 3; 3\}$. Ta xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: Bộ số là các hoán vị của $\{1; 1; 7\}$ (có $3$ cách hoán vị).

Số đường đi trong trường hợp này là: $3 \times \dfrac{9!}{1!1!7!} = 3 \times 72 = 216$.

Trường hợp 2: Bộ số là các hoán vị của $\{1; 3; 5\}$ (có $3! = 6$ cách hoán vị).

Số đường đi trong trường hợp này là: $6 \times \dfrac{9!}{1!3!5!} = 6 \times 504 = 3024$.

Trường hợp 3: Bộ số là $\{3; 3; 3\}$ (có $1$ cách hoán vị).

Số đường đi trong trường hợp này là: $1 \times \dfrac{9!}{3!3!3!} = 1680$.

Gọi $X$ là biến cố: "Sau $9$ lần di chuyển, điểm $M$ dừng lại ở đỉnh $C'$".

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $X$ là:

$n(X) = 216 + 3024 + 1680 = 4920$

Xác suất để sau $9$ lần di chuyển điểm $M$ dừng lại ở đỉnh $C'$ là:

$P(X) = \dfrac{n(X)}{n(\Omega)} = \dfrac{4920}{19683} \approx 0,24996...$

Đề bài yêu cầu quy tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả là $0,25$.

Đáp án: $0,25$

Đáp án cần điền là: 0,25

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.