Cho đều cạnh a, trọng tâm G. a. Tính các tích vô hướng: và . b. Gọi I là điểm thỏa mãn . Chứng minh rằng BCIG là hình bình hành, từ đó tính .

Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng

Câu hỏi số 106310:

Vận dụng

Cho igtriangleup ABC đều cạnh a, trọng tâm G.

a. Tính các tích vô hướng: underset{AB}{
ightarrow}.underset{AC}{
ightarrow} và .

b. Gọi I là điểm thỏa mãn underset{IA}{
ightarrow} - 2underset{IB}{
ightarrow} + 4underset{IC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow} . Chứng minh rằng BCIG là hình bình hành, từ đó tính underset{IA}{
ightarrow}(underset{AB}{
ightarrow} + underset{AC}{
ightarrow}), underset{IB}{
ightarrow}.underset{IC}{
ightarrow}, underset{IA}{
ightarrow}.underset{IB}{
ightarrow} .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106310

Giải chi tiết

a. Ta có:

$(underset{AB}{ ightarrow},underset{AC}{ ightarrow}) = 60^{circ}$

$Rightarrow underset{AB}{ ightarrow}.underset{AC}{ ightarrow} = AB.AC.cos60^{circ}= a.a.frac{1}{2}=frac{1}{2}a^{2}$

Ta có:

$(underset{AB}{ ightarrow},underset{BC}{ ightarrow}) = 120^{circ}$

$Rightarrow underset{AB}{ ightarrow}.underset{BC}{ ightarrow} = AB.BC.cos120^{circ}= a.a.(-frac{1}{2})=-frac{1}{2}a^{2}$

b. Ta có: underset{IA}{
ightarrow} - 2underset{IB}{
ightarrow} + 4underset{IC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow} Leftrightarrow (underset{GA}{
ightarrow} - underset{GI}{
ightarrow}) - 2(underset{GB}{
ightarrow} - underset{GI}{
ightarrow}) + 4(underset{GC}{
ightarrow} - underset{GI}{
ightarrow}) = underset{0}{
ightarrow}

Leftrightarrow underset{GA}{
ightarrow} - 2underset{GB}{
ightarrow} + 4underset{GC}{
ightarrow} = 3underset{GI}{
ightarrow}

Leftrightarrow (underset{GA}{
ightarrow} + underset{GB}{
ightarrow} + underset{GC}{
ightarrow}) - 3underset{GB}{
ightarrow} + 3underset{GC}{
ightarrow}= 3underset{GI}{
ightarrow}

Leftrightarrow underset{BC}{
ightarrow} = underset{GI}{
ightarrow} Leftrightarrow

Leftrightarrow underset{BC}{
ightarrow} = underset{GI}{
ightarrow} Leftrightarrow BCIG là hình bình hành.

Gọi M là trung điểm BC, ta được:

underset{IA}{
ightarrow}(underset{AB}{
ightarrow}+underset{AC}{
ightarrow})=(underset{IG}{
ightarrow}+underset{GA}{
ightarrow}).2underset{AM}{
ightarrow}=2underset{IG}{
ightarrow}.underset{AM}{
ightarrow}+2.underset{GA}{
ightarrow}.underset{AM}{
ightarrow}

=2underset{CB}{
ightarrow}.underset{AM}{
ightarrow} - 2GA.AM

$=-2frac{asqrt{3}}{3}.frac{asqrt{3}}{2}=-a^{2}$ .

$underset{IB}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow}=(underset{IA}{ ightarrow}+underset{AB}{ ightarrow}).(underset{IA}{ ightarrow}+underset{AC}{ ightarrow})=IA^{2} +underset{IA}{ ightarrow}.(underset{AB}{ ightarrow}+underset{AC}{ ightarrow})+underset{AB}{ ightarrow}.underset{AC}{ ightarrow}$

$= AG^{2} + GI^{2} - a^{2} +frac{1}{2}a^{2}$

$=(frac{asqrt{3}}{3})^{2}+a^{2}-a^{2}+frac{1}{2}a^{2} = frac{5a^{2}}{6}$ .

$underset{IA}{ ightarrow} . underset{IB}{ ightarrow}=(underset{IG}{ ightarrow}+underset{GA}{ ightarrow})(underset{IG}{ ightarrow} + underset{IC}{ ightarrow})= IG^{2}+underset{IG}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow} + underset{GA}{ ightarrow}.underset{IG}{ ightarrow} + underset{GA}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow}$

$= IG^{2}+underset{IG}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow} + underset{GA}{ ightarrow}.underset{GB}{ ightarrow}$

$=IG^{2}+IG.IC.cos30^{circ} + GA.GB.cos120^{circ}$

$=(frac{asqrt{3}}{3})^{2} +a.frac{asqrt{3}}{2}.frac{sqrt{3}}{2} + frac{asqrt{3}}{2}.frac{asqrt{3}}{2}(-frac{1}{2})=frac{17a^{2}}{24}$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.