Cho đều cạnh a, trọng tâm G. a. Tính các tích vô hướng: và . b. Gọi I là điểm thỏa mãn . Chứng minh rằng BCIG là hình bình hành, từ đó tính .

Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng

Câu hỏi số 106310:

Vận dụng

Cho igtriangleup ABC đều cạnh a, trọng tâm G.

a. Tính các tích vô hướng: underset{AB}{
ightarrow}.underset{AC}{
ightarrow} và .

b. Gọi I là điểm thỏa mãn underset{IA}{
ightarrow} - 2underset{IB}{
ightarrow} + 4underset{IC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow} . Chứng minh rằng BCIG là hình bình hành, từ đó tính underset{IA}{
ightarrow}(underset{AB}{
ightarrow} + underset{AC}{
ightarrow}), underset{IB}{
ightarrow}.underset{IC}{
ightarrow}, underset{IA}{
ightarrow}.underset{IB}{
ightarrow} .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106310

Giải chi tiết

a. Ta có:

$(underset{AB}{ ightarrow},underset{AC}{ ightarrow}) = 60^{circ}$

$Rightarrow underset{AB}{ ightarrow}.underset{AC}{ ightarrow} = AB.AC.cos60^{circ}= a.a.frac{1}{2}=frac{1}{2}a^{2}$

Ta có:

$(underset{AB}{ ightarrow},underset{BC}{ ightarrow}) = 120^{circ}$

$Rightarrow underset{AB}{ ightarrow}.underset{BC}{ ightarrow} = AB.BC.cos120^{circ}= a.a.(-frac{1}{2})=-frac{1}{2}a^{2}$

b. Ta có: underset{IA}{
ightarrow} - 2underset{IB}{
ightarrow} + 4underset{IC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow} Leftrightarrow (underset{GA}{
ightarrow} - underset{GI}{
ightarrow}) - 2(underset{GB}{
ightarrow} - underset{GI}{
ightarrow}) + 4(underset{GC}{
ightarrow} - underset{GI}{
ightarrow}) = underset{0}{
ightarrow}

Leftrightarrow underset{GA}{
ightarrow} - 2underset{GB}{
ightarrow} + 4underset{GC}{
ightarrow} = 3underset{GI}{
ightarrow}

Leftrightarrow (underset{GA}{
ightarrow} + underset{GB}{
ightarrow} + underset{GC}{
ightarrow}) - 3underset{GB}{
ightarrow} + 3underset{GC}{
ightarrow}= 3underset{GI}{
ightarrow}

Leftrightarrow underset{BC}{
ightarrow} = underset{GI}{
ightarrow} Leftrightarrow

Leftrightarrow underset{BC}{
ightarrow} = underset{GI}{
ightarrow} Leftrightarrow BCIG là hình bình hành.

Gọi M là trung điểm BC, ta được:

underset{IA}{
ightarrow}(underset{AB}{
ightarrow}+underset{AC}{
ightarrow})=(underset{IG}{
ightarrow}+underset{GA}{
ightarrow}).2underset{AM}{
ightarrow}=2underset{IG}{
ightarrow}.underset{AM}{
ightarrow}+2.underset{GA}{
ightarrow}.underset{AM}{
ightarrow}

=2underset{CB}{
ightarrow}.underset{AM}{
ightarrow} - 2GA.AM

$=-2frac{asqrt{3}}{3}.frac{asqrt{3}}{2}=-a^{2}$ .

$underset{IB}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow}=(underset{IA}{ ightarrow}+underset{AB}{ ightarrow}).(underset{IA}{ ightarrow}+underset{AC}{ ightarrow})=IA^{2} +underset{IA}{ ightarrow}.(underset{AB}{ ightarrow}+underset{AC}{ ightarrow})+underset{AB}{ ightarrow}.underset{AC}{ ightarrow}$

$= AG^{2} + GI^{2} - a^{2} +frac{1}{2}a^{2}$

$=(frac{asqrt{3}}{3})^{2}+a^{2}-a^{2}+frac{1}{2}a^{2} = frac{5a^{2}}{6}$ .

$underset{IA}{ ightarrow} . underset{IB}{ ightarrow}=(underset{IG}{ ightarrow}+underset{GA}{ ightarrow})(underset{IG}{ ightarrow} + underset{IC}{ ightarrow})= IG^{2}+underset{IG}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow} + underset{GA}{ ightarrow}.underset{IG}{ ightarrow} + underset{GA}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow}$

$= IG^{2}+underset{IG}{ ightarrow}.underset{IC}{ ightarrow} + underset{GA}{ ightarrow}.underset{GB}{ ightarrow}$

$=IG^{2}+IG.IC.cos30^{circ} + GA.GB.cos120^{circ}$

$=(frac{asqrt{3}}{3})^{2} +a.frac{asqrt{3}}{2}.frac{sqrt{3}}{2} + frac{asqrt{3}}{2}.frac{asqrt{3}}{2}(-frac{1}{2})=frac{17a^{2}}{24}$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10