Cho tứ diện ABCD với M ; N là trung điểm của AB và CD . Gọi G là trọng tâm của tứ diện . Chứng minh : $\eqalign{ & a)\,\,2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \cr & b)\,\,\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \cr & c)\,\,\forall I:\,\,4\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} \cr} $

Câu hỏi số 106824:

Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD với M ; N là trung điểm của AB và CD . Gọi G là trọng tâm của tứ diện . Chứng minh :

$\eqalign{
& a)\,\,2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \cr
& b)\,\,\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \cr
& c)\,\,\forall I:\,\,4\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} \cr} $

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106824

Giải chi tiết

Áp dụng qui tắc 3 điểm ta có :

$egin{array}{l} overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {DN} \ overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CN} \ = > 2overrightarrow {MN} = underbrace {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} }_{overrightarrow 0 } + overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} + underbrace {overrightarrow {DN} + overrightarrow {CN} }_{overrightarrow 0 } = overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} end{array}$

Chứng minh tương tự ta có : 2overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD}

b) Áp dụng qui tắc trung điểm ta có :

$egin{array}{l} overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} = 2overrightarrow {GM} \ overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 2overrightarrow {GN} \ = > overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 2(overrightarrow {GM} + overrightarrow {GN} ) end{array}$

Vì G là trọng tâm tứ diện nên :

$egin{array}{l} overrightarrow {GM} + overrightarrow {GN} = 0\ = > overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 end{array}$

c) Với mọi điểm I trong không gian , áp dụng qui tắc 3 điểm :

$egin{array}{l} overrightarrow {IA} = overrightarrow {GA} - overrightarrow {GI} \ overrightarrow {IB} = overrightarrow {GB} - overrightarrow {GI} \ overrightarrow {IC} = overrightarrow {GC} - overrightarrow {GI} \ overrightarrow {ID} = overrightarrow {GD} - overrightarrow {GI} \ = > overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = underbrace {overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} }_{overrightarrow 0 } - 4overrightarrow {GI} \ = > 4overrightarrow {IG} = overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} end{array}$

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.