Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc α với cosα = , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Câu hỏi số 10929:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc α với cosα = $\frac{\sqrt{21}}{7}$ , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. V_S.MNP = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$ ; Diện tích mặt cầu S = $\frac{7}{3}$ πa².

B. V_S.MNP = $\frac{a^{3}\sqrt{7}}{48}$ ; Diện tích mặt cầu S = $\frac{7}{3}$ πa².

C. V_S.MNP = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$ ; Diện tích mặt cầu S = $\frac{5}{3}$ πa².

D. V_S.MNP = $\frac{a^{3}\sqrt{5}}{48}$ ; Diện tích mặt cầu S = $\frac{7}{3}$ πa².

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10929

Giải chi tiết

V_S.MNP = V_P.SMN = $\frac{1}{4}$ V_P.SBC = $\frac{1}{4}$ V_A.SBC = $\frac{1}{4}$ V_S.ABC= $\frac{1}{8}$ V_S.ABCD

Gọi H là trung điểm AB suy ra SH ⊥AB

Do (SAB) ⊥(ABCD) suy ra SH ⊥(ABCD)

V_SABCD = $\frac{1}{3}$ SH.dt_ABCD = $\frac{1}{3}$ SH.a²

Gọi E là trung điểm CD , do (MNP)//(SCD) suy ra :

$\widehat{((MNP),(SAB))}$ = $\widehat{((SCD),(SAB))}$ = $\widehat{ESH}$ = α

SH = $\frac{HE}{tan\alpha }$ = $\frac{a}{tan\alpha }$ với tan²α = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ - 1 = $\frac{4}{3}$ nên SH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a

V_S.MNP = $\frac{1}{8}$ V_S.ABCD = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$

Gọi O là giao điểm của AC, BD , dựng đường thẳng a qua O và vuông góc (ABCD)

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , dựng đường thẳng b qua G và vuông góc (SAB)

Chứng minh được a, b đồng phẳng và cắt nhau tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Bán kính mặt cầu R = SI = $\sqrt{SG^{2}+GI^{2}}$ = $\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}}$ = a $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$

Diện tích mặt cầu S = 4π(a $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ )² = $\frac{7}{3}$ πa²

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.