Xét các số thực không âm a, b ,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = ab + bc + ca

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 10930:

Xét các số thực không âm a, b ,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = ab + bc + ca – 2abc.

A. Max M = $\frac{7}{27}$ .

B. Max M = $\frac{7}{26}$ .

C. Max M = $\frac{7}{24}$ .

D. Max M = $\frac{7}{25}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10930

Giải chi tiết

Ta có ab + bc + ca – 2abc = a(b + c) + (1 – 2a)bc = a(1 – a) + (1 – 2a)bc

Đặt t = bc thì ta có 0 ≤ t = bc ≤ $\frac{(b+c)^{2}}{4}$ = $\frac{(1-a)^{2}}{4}$

Xét hs f(t) = a(1 – a) + (1 – 2a)t là đơn điệu trên đoạn [0; $\frac{(1-a)^{2}}{4}$ ]

Có f(0) = a(1 – a) ≤ $\frac{(a+1-a)^{2}}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{7}{27}$ và f( $\frac{(1-a)^{2}}{4}$ ) = $\frac{7}{27}$ - $\frac{1}{4}$ (2a + $\frac{1}{3}$ )(a - $\frac{1}{3}$ )² ≤ $\frac{7}{27}$ với mọi a ∈[0;1]

Vậy ab + bc + ca – 2abc ≤ $\frac{7}{27}$ .Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = $\frac{1}{3}$

Max M = $\frac{7}{27}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.