Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 12611:

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c². Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{32a^{3}}{(b+3c)^{3}}$ + $\frac{32b^{3}}{(a+3c)^{3}}$ - $\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{c}$ .

A. Giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.

B. Giá trị nhỏ nhất của P là - 1 + √2.

C. Giá trị nhỏ nhất của P là - 1 - √2.

D. Giá trị nhỏ nhất của P là 1 + √2.

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:12611

Giải chi tiết

Đặt x = $\frac{a}{c}$ ; y = $\frac{b}{c}$ . Ta được x > 0, y > 0.Điều kiện của bài toán trở thành xy + x + y = 3.

Khi đó P = $\frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}}$ + $\frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}}$ - $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Với mọi u > 0, v > 0 ta có u³ + v³ = (u + v)³ – 3uv(u + v) ≥ (u + v)³ – $\frac{3}{4}$ (u + v)³ = $\frac{(u+v)^{3}}{4}$ .

Do đó $\frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}}$ + $\frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}}$ ≥ 8( $\frac{x}{y+3}$ + $\frac{y}{x+3}$ )³ = 8( $\frac{(x+y)^{2}-2xy+3x+3y}{xy+3x+3y+9}$ )³

Thay xy = 3 – x – y vào biểu thức trên ta được

$\frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}}$ + $\frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}}$ ≥ 8( $\frac{(x+y-1)(x+y+6)}{2(x+y+6)}$ )³= (x + y – 1)³.

Do đó P ≥(x + y – 1)³ - $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ = (x + y – 1)³ - $\sqrt{(x+y)^{2}-2xy}$

= (x + y -1)³ – $\sqrt{(x+y)^{2}+2(x+y)-6}$

Đặt t = x + y. Suy ra t > 0 và P ≥ (t – 1)³ – $\sqrt{t^{2}+2t-6}$

Ta có 3 = x + y + xy ≤ (x + y) + $\frac{(x+y)^{2}}{4}$ = t + $\frac{t^{2}}{4}$ nên (t -2)(t + 6) ≥ 0.

Do đó t ≥ 2.

Xét f(t) = (t – 1)³ - $\sqrt{t^{2}+2t-6}$ , với t ≥ 2.

Ta có f’(t) = 3(t – 1)² – $\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}+2t-6}}$

Với mọi t ≥ 2 ta có 3(t – 1)² ≥ 3 và

$\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}+2t-6}}$ = $\sqrt{1+\frac{7}{(t+1)^{2}-7}}$ ≤ $\sqrt{1+\frac{7}{2}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ , nên f’(t) ≥ 3 - $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ > 0.

Suy ra f(t) ≥ f(2) = 1 - √2. Do đó P ≥ 1 - √2.

Khi a = b =c thì P = 1 - √2. Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.