Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 12647:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}}$ - $\frac{x-2y}{6(x+y)}$ .

A. Giá trị lớn nhất của P là - $\frac{\sqrt{5}}{3}$ - $\frac{7}{30}$ .

B. Giá trị lớn nhất của P là - $\frac{\sqrt{5}}{3}$ + $\frac{7}{30}$ .

C. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{\sqrt{5}}{3}$ + $\frac{7}{30}$ .

D. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{\sqrt{5}}{3}$ - $\frac{7}{30}$ .

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:12647

Giải chi tiết

Do x > 0, y > 0, xy ≤ y -1 nên 0 < $\frac{x}{y}$ ≤ $\frac{y-1}{y^{2}}$ = $\frac{1}{y}$ - $\frac{1}{y^{2}}$ = $\frac{1}{4}$ - ( $\frac{1}{y}$ - $\frac{1}{y^{2}}$ )² ≤ $\frac{1}{4}$ .

Đặt t = $\frac{x}{y}$ , suy ra 0 < t ≤ $\frac{1}{4}$ . Khi đó P = $\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}}$ - $\frac{t-2}{6(t+1)}$

Xét f(t) = $\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}}$ - $\frac{t-2}{6(t+1)}$ , với 0 < t ≤ $\frac{1}{4}$ .

Ta có f’(t) = $\frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}}$ - $\frac{1}{2(t+1)^{2}}$ .

Với 0 < t ≤ $\frac{1}{4}$ ta có t² – t + 3 = t(t -1) + 3 < 3; 7 – 3t > 6 và t + 1 > 1.

Do đó $\frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}}$ > $\frac{7-3t}{6\sqrt{3}}$ > $\frac{1}{\sqrt{3}}$ và - $\frac{1}{2(t+1)^{2}}$ > - $\frac{1}{2}$ .

Suy ra f’(t) > $\frac{1}{\sqrt{3}}$ - $\frac{1}{2}$ > 0.

Do đó P = f(t) ≤ f( $\frac{1}{4}$ ) = $\frac{\sqrt{5}}{3}$ + $\frac{7}{30}$ .

Khi x = $\frac{1}{2}$ và y = 2, ta có P = $\frac{\sqrt{5}}{3}$ + $\frac{7}{30}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{\sqrt{5}}{3}$ + $\frac{7}{30}$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.