Tính tích phân : I = (cos3x

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 13833:

Tính tích phân : I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ (cos³x – 1)cos²x.dx.

A. I = - $\frac{8}{15}$ + $\frac{\pi }{4}$ .

B. I = $\frac{8}{15}$ - $\frac{\pi }{4}$ .

C. I = - $\frac{8}{15}$ - $\frac{\pi }{4}$ .

D. I = $\frac{8}{15}$ + $\frac{\pi }{4}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13833

Giải chi tiết

Biến đổi I về dạng :

I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ (cos⁵x – cos²x)dx = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ cos⁵x.dx – $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ cos²x.dx. (1)

Đặt I₁ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ cos⁵x.dx ; I₂ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ cos²x.dx

Ta lần lượt:

+ Với I₂ ta sử dụng công thức hạ bậc :

I₂ = $\frac{1}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ (1 + cos2x)dx = $\frac{1}{2}$ (1 + $\frac{1}{2}$ sin2x) $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{2}\\0\end{vmatrix}$ = $\frac{\pi }{4}$ (2)

+ Với I₁ ta sử dụng phép biến đổi :

I₁ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ cos⁴x.cosx.dx = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ (1 – sin²x)².cosx.dx.

Đặt t = sinx, suy ra dt = cosx.dx.

Đổi cận :

+ Với x = 0 thì t = 0.

+ Với x = $\frac{\pi }{2}$ thì t = 1.

Khi đó : I₁ = $\int_{0}^{1}$ (1 – t²)²dt = $\int_{0}^{1}$ (1 – 2t² + t⁴)dt = (t – $\frac{2}{3}$ t³ + $\frac{1}{5}$ t⁵) $\begin{vmatrix}1\\0\end{vmatrix}$ = $\frac{8}{15}$ (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được I = $\frac{8}{15}$ - $\frac{\pi }{4}$ .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.