Tính tích phân : I = exsin2(πx)dx.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 13837:

Tính tích phân : I = $\int_{0}^{1}$ e^xsin²(πx)dx.

A. I = $\frac{-e+1}{3}$ .

B. I = $\frac{-e-1}{3}$ .

C. I = $\frac{e-1}{3}$ .

D. I = $\frac{e+1}{3}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13837

Giải chi tiết

Biến đổi I về dạng :

I = $\frac{1}{2}$ $\int_{0}^{1}$ e^x(1 – cos2πx)dx = $\frac{1}{2}$ ( $\int_{0}^{1}$ e^xdx - $\int_{0}^{1}$ e^xcos2πxdx) (1)

Đặt I₁ = $\int_{0}^{1}$ e^xdx ; I₂ = $\int_{0}^{1}$ e^xcos2πxdx

Với tích phân I₁, ta có ngay:

I₁ = e^x = e – 1. (2)

Với tích phân I₂ sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt :

$\left\{\begin{matrix}u=cos2\pi x\\dv=e^{x}dx\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}du=-2sin2\pi x.dx\\v=e^{ x}\end{matrix}\right.$

Khi đó :

I₂ = e^xcos2πx $\begin{vmatrix}1\\0\end{vmatrix}$ + 2 $\int_{0}^{1}$ e^xsin2πxdx = e – 1 + 2I_2.1 (3)

Đặt I_2.1 = $\int_{0}^{1}$ e^xsin2πxdx

Với tích phân I_2.1 sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt :

$\left\{\begin{matrix}u=sin2\pi x\\dv=e^{x}dx\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}du=cos2\pi xdx\\v=e^{x}\end{matrix}\right.$

Khi đó: I_2.1 = e^xsin2πx $\begin{vmatrix}1\\0\end{vmatrix}$ - 2 $\int_{0}^{1}$ e^xcos2πxdx = - 2I₂. (4)

Đặt I₂ = $\int_{0}^{1}$ e^xcos2πxdx

Thay (4) vào (3), ta được : I₂ = e – 1 – 2I₂ ⇔ I₂ = $\frac{e-1}{3}$ (5)

Thay (2), (5) vào (1), ta được : I = $\frac{1}{2}$ (e – 1 - $\frac{e-1}{3}$ ) = $\frac{e-1}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.