Tính tích phân : I = .

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 13836:

Tính tích phân : I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}$ $\frac{tan^{4}x.dx}{cos2x}$ .

A. I = $\frac{1}{2}$ ln(2 + √3) – $\frac{10}{9\sqrt{3}}$ .

B. I = $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3) + $\frac{10}{9\sqrt{3}}$ .

C. I = $\frac{1}{2}$ ln(2 - √3) – $\frac{10}{9\sqrt{3}}$ .

D. I = $\frac{1}{2}$ ln(2 + √3) + $\frac{10}{9\sqrt{3}}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13836

Giải chi tiết

Biến đổi tích phân về dạng :

I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}$ $\frac{tan^{4}x.dx}{cos^{2}x-sin^{2}x}$ = $\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}$ $\frac{tan^{4}x.dx}{(1-tan^{2}x)cos^{2}x}$

Đặt t = tanx, suy ra dt = $\frac{dx}{cos^{2}x}$ .

Đổi cận:

+ Với x = 0 thì t = 0.

+ Với x = $\frac{\pi }{6}$ thì t = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Khi đó:

I = $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ $\frac{t^{4}.dt}{1-t^{2}}$ = - $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ ( $\frac{t^{4}-1+1}{t^{2}-1}$ )dt

= - $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (t² + 1 + $\frac{1}{t^{2}-1}$ )dt

= - $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ [(t² + 1) + $\frac{1}{2}$ ( $\frac{1}{t-1}$ - $\frac{1}{t+1}$ )]dt

= - [ $\frac{t^{3}}{3}$ + t + $\frac{1}{2}$ (ln|t – 1| - ln|t + 1|)] $\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\1\end{vmatrix}$

= - ( $\frac{t^{3}}{3}$ + t + $\frac{1}{2}$ ln| $\frac{t-1}{t+1}$ |)

= $\frac{1}{2}$ ln(2 + √3) – $\frac{10}{9\sqrt{3}}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.