Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), H(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,H sao cho (P) cắt Oy, Oz lần lượt tại B,C thỏa mãn diện tích của tam giác ABC bằng 4

Câu hỏi số 14252:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), H(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,H sao cho (P) cắt Oy, Oz lần lượt tại B,C thỏa mãn diện tích của tam giác ABC bằng 4 $\sqrt{6}$

A. (P₁):2x+y+z-4=0 (P2): 6x+(3+ $\sqrt{21}$ )y+(3- $\sqrt{21}$ )z-12=0 (P₃): 6x+(3- $\sqrt{21}$ )y+(3+ $\sqrt{21}$ )z-12=0 (P₄): x+y-1=0

B. (P2): 6x+(3+ $\sqrt{21}$ )y+(3- $\sqrt{21}$ )z-12=0 (P₃): 6x+(3- $\sqrt{21}$ )y+(3+ $\sqrt{21}$ )z-12=0

C. (P₁):2x+y+z-4=0 (P2): 6x+(3+ $\sqrt{21}$ )y+(3- $\sqrt{21}$ )z-12=0

D. (P₁):2x+y+z-4=0 (P2): 6x+(3+ $\sqrt{21}$ )y+(3- $\sqrt{21}$ )z-12=0 (P₃): 6x+(3- $\sqrt{21}$ )y+(3+ $\sqrt{21}$ )z-12=0

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:14252

Giải chi tiết

Giả sử B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó bc#0 (Vì nếu bc=0 thì tam giác ABC suy biến)

Suy ra (P): $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{b}$ + $\frac{z}{c}$ =1. Vì H∈(P) nên $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = $\frac{1}{2}$ (1)

S_ABC= $\frac{1}{2}$ |[ $\vec{AB}$ . $\vec{AC}$ ]|= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{(bc)^{2}+(2c)^{2}+(2b)^{2}}$ =4 $\sqrt{6}$

<=> b²c²+4b²+4c²=384 (2)

Đặt b+c=u, bc=v. Khi đó từ (1) và (2) ta có:

$\left\{\begin{matrix} v=2u\\v^{2}+4(u^{2}-2v)=384 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} u=8,v=16\\u=-6,v=-12 \end{matrix}\right.$

Suy ra $\begin{bmatrix} b=c=4\\b=-c=-3+\sqrt{21} \\b=-c=-3-\sqrt{21} \end{bmatrix}$

Vậy có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn là:

(P₁):2x+y+z-4=0

(P2): $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{-3+\sqrt{21}}$ + $\frac{z}{-3-\sqrt{21}}$ =1 hay 6x+(3+ $\sqrt{21}$ )y+(3- $\sqrt{21}$ )z-12=0

(P₃): $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{-3-\sqrt{21}}$ + $\frac{z}{-3+\sqrt{21}}$ =1 hay 6x+(3- $\sqrt{21}$ )y+(3+ $\sqrt{21}$ )z-12=0

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.