Cho \(\Delta ABC,\) gọi \(A',\,B',\,C'\) là các điểm xác định bởi

Câu hỏi số 146498:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC,\) gọi \(A',\,B',\,C'\) là các điểm xác định bởi \(2011\overrightarrow{A'B}+2012\overrightarrow{A'C}=\vec{0},\,\,2011\overrightarrow{B'C}+2012\overrightarrow{B'A}=\vec{0},\) \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \vec 0.\) Chứng minh hai tam giác \(ABC,\,\,\,A'B'C'\) có cùng trọng tâm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:146498

Giải chi tiết

\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\)

Ta có: \(2011\overrightarrow{A'B}+2012\overrightarrow{A'C}=\vec{0}~\Leftrightarrow 2011\left( \overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB} \right)+2012\left( \overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC} \right)=\vec{0}\)

\( \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {A'A} + 2011\overrightarrow {AB} + 2012\overrightarrow {AC} = \vec 0.\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4023\overrightarrow {B'B} + 2011\overrightarrow {BC} + 2012\overrightarrow {BA} = \vec 0\\4023\overrightarrow {C'C} + 2011\overrightarrow {CA} + 2012\overrightarrow {CB} = \vec 0\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế lại ta được:

\(4023\left( \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'} \right)+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\vec{0}\)

Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} \Rightarrow \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} = \vec 0\)

Do đó \(G\) là trọng tâm \(\Delta A'B'C'.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link