Cho hai số thực dương x,y thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16223:

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn $\small x^{3}+y^{3}=1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\small A=\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}$

A. $\small \frac{3}{(\sqrt[3]{2}-1)^{3}}$

B. minP= $\small \frac{6}{(\sqrt[3]{4}-1)^{3}}$

C. minP= $\small \frac{6}{(\sqrt[3]{2}-1)^{3}}$

D. minP= $\small \frac{3}{(\sqrt[3]{4}-1)^{3}}$

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:16223

Giải chi tiết

Đặt: a=x+y; b=xy

$\small x^{3}+y^{3}=1<=>(x+y)^{3}-3xy(x+y)=1$

<=> $\small a^{3}-3ab=1$ <=> $\small b=\frac{a^{3}-1}{3a}$

Do x;y>0 nên b>0 =>a>1

Ta lại có: $\small x^{3}+y^{3}\geq \frac{(x+y)^{3}}{4}$ (CM bằng cách biến đổi tương đương)

=> $\small 1\geq \frac{a^{3}}{4}$ <=> $\small a\leq \sqrt[3]{4}$

Do đó: 1< $\small a\leq \sqrt[3]{4}$

Ta có: P= $\small \frac{a^{2}-2b}{1-a+b}=\frac{a^{2}-2.\frac{a^{3}-1}{3a}}{1-a+\frac{a^{3}-1}{3a}}=\frac{a^{3}+2}{(a-1)^{3}}$

P'(a)= $\small \frac{-3a^{2}-6}{(a-1)^{4}}$

=>P(a) nghịch biến trên $\small (1;\sqrt[3]{4}]$

=> P(a) $\small \geq P(\sqrt[3]{4})$ = $\small \frac{6}{(\sqrt[3]{4}-1)^{3}}$

Dấu bằng xảy ra khi: $\small \left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{4}\\ x=y>0 \end{matrix}\right.<=>x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Vậy minP= $\small \frac{6}{(\sqrt[3]{4}-1)^{3}}$ khi x=y= $\small \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.