Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16246:

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x² + 3y)(4y² + 3x) + 25xy.

A. Giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{5}{25}$ ; giá trị nhỏ nhất của S bằng $\frac{191}{16}$ .

B. Giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{2}{25}$ ; giá trị nhỏ nhất của S bằng $\frac{1}{16}$ .

C. Giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{25}{2}$ ; giá trị nhỏ nhất của S bằng $\frac{191}{16}$ .

D. Giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{25}{2}$ ; giá trị nhỏ nhất của S bằng - $\frac{191}{16}$ .

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:16246

Giải chi tiết

Do x + y = 1, nên: S = 16x²y² + 12(x³ + y³) + 9xy + 25xy = 16x²y² + 12[(x + y)³ – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x²y² – 2xy + 12.

Đặt t = xy, ta được : S = 16t² – 2t + 12; 0 ≤ xy ≤ $\frac{(x+y)^{2}}{4}$ = $\frac{1}{4}$ => t ∈ [0; $\frac{1}{4}$ ].

Xét hàm f(t) = 16t² – 2t + 12 trên đoạn [0; $\frac{1}{4}$ ]

f’(t) = 32t – 2; f’(t) = 0 ⇔ t = $\frac{1}{16}$ ; f(0) = 12, f( $\frac{1}{16}$ ) = $\frac{191}{16}$ , f( $\frac{1}{4}$ ) = $\frac{25}{2}$ .

$\max_{[0;\frac{1}{4}]}$ f(t) = f( $\frac{1}{4}$ ) = $\frac{25}{2}$ ; $\min_{[0;\frac{1}{4}]}$ f(t) = f $\frac{1}{16}$ = $\frac{191}{16}$ .

Giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{25}{2}$ ; khi $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\xy=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$ ⇔ (x; y) = ( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ )

Giá trị nhỏ nhất của S bằng $\frac{191}{16}$ ; khi $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{matrix}\right.$

⇔ (x; y) = ( $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ ; $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ ) hoặc (x; y) = ( $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ ; $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ )

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.