Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với đáy là SA = y.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với đáy là SA = y. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x. Biết rằng \({x^2} + {y^2} = {a^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Tính thể tích của khối chóp S.ABCM là \({V_{S.ABCM}} = {1 \over 3}SA.{S_{ABCM}}.\)
Biểu diễn V theo a và x, đặt V = f(x), tìm GTLN của f(x) trên (0; a).
\(\eqalign{ & {S_{ABCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{MCD}} = {a^2} - {1 \over 2}a(a - x) = {{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2} \cr & \Rightarrow {V_{S.ABCM}} = {1 \over 3}y\left( {{{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}} \right). \cr} \)
Ta có: \({x^2} + {y^2} = {a^2} \Rightarrow y = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {1 \over 3}y\left( {{{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}} \right) = {1 \over 6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right) \cr & f(x) = {1 \over 6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right);\,\,x \in \left( {0;a} \right) \cr & f'(x) = {1 \over 6}.a.\left[ {{{ - x\left( {a + x} \right)} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right] = {1 \over 6}.a\left[ {{{ - x\left( {a + x} \right) + {a^2} - {x^2}} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right] = {1 \over 6}a{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \cr & f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{ x = - a\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr x = {a \over 2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Lập bảng biến thiên ta được:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {{a \over 2}} \right) = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
