Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| {x - 1} \right|^3} - 3x - k < 0\\\frac{1}{2}{\log _2}{x^2} + \frac{1}{3}{\log _2}{\left( {x

Phương trình, Bất PT và hệ PT mũ và lôgarit

Câu hỏi số 18638:

Vận dụng

Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| {x - 1} \right|^3} - 3x - k < 0\\\frac{1}{2}{\log _2}{x^2} + \frac{1}{3}{\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} \le 1\end{array} \right.\)

A. \(k\ge-2\)

B. \(k\ge-3\)

C. \(k\ge-4\)

D. \(k\ge-5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:18638

Giải chi tiết

Điều kiện: x>1 (*)

Với đk (*) ta có:

Bpt (2) tương đương:

\(\begin{array}{l}
{\log _2}\sqrt {{x^2}} + {\log _2}\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} \le 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \le 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 2
\end{array}\)

Với \(1 < x \le 2\) pt (1) tương đương:

\({\left( {x - 1} \right)^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - k < 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 1 < k\)

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 1\) trên (1;2]

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên: (hs tự vẽ)

=> Từ BBT suy ra bpt (1) có nghiệm trên (1;2] khi và chỉ khi \(k \ge \mathop {\min }\limits_{\left( {1;2} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow k \ge - 5\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.