Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\)có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và \(\widehat {ABC} = {120^0}\)

Câu hỏi số 193766:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\)có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và \(\widehat {ABC} = {120^0}\) . Góc giữa cạnh bên \(AA'\) và mặt đáy bằng \({60^0}\). Đỉnh A’ cách đều các điểm A, B, D. Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của A’ trên \(\left( {ABCD} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\)

B. \(\dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{26}}\)

D. \(\dfrac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:193766

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết

Vì đỉnh\(A'\) cách đều các điểm \(A,B,D\) nên chóp \(A'.ABD\) là chóp tam giác đều.

Gọi H là tâm tam giác đều ABD suy ra \(A'H \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot OH\\BD \bot A'H\left( {A'H \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A'HO} \right)\)

Trong \(\left( {A'HO} \right)\) kẻ \(HK \bot A'O\)

Có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot A'O\\HK \bot BD\left( {BD \bot \left( {A'HO} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {A'BD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {A'BD} \right)} \right) = HK\)

\(\widehat {\left( {AA';\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AA';HA} \right)} = \widehat {A'AH} = {60^0}\) (Vì \(\widehat {A'AH} < {90^0})\)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.cos\widehat {ABC} = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\\,\,\,\,\,\,OH = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(A'AH\) có: \(A'H = AH.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\sqrt 3 = a\)

Vì \(A'H \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(A'H \bot HO \Rightarrow \Delta A'HO\) vuông tại H nên:

\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{O^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{{12}}{{{a^2}}} = \dfrac{{13}}{{{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.