Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy và \(SA = y\). Trên

Câu hỏi số 194856:

Vận dụng

Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy và \(SA = y\). Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho \(AM = x\). Biết rằng \({x^2} + {y^2} = {a^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM?

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:194856

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{S_{ABCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{CMD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - \dfrac{1}{2}a\left( {a - x} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{ax}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABCM}} = \dfrac{1}{3}y\left( {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{ax}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right)\,\,\left( {y = \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right)\,;\,\,\,x \in \left( {0;a} \right)\)

\(\begin{array}{l}f'(x) = \dfrac{1}{6}.a.\left[ {\dfrac{{ - x\left( {a + x} \right)}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}.a\left[ {\dfrac{{ - x\left( {a + x} \right) + {a^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}.a\dfrac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\\f'(x) = 0 \Rightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - a\\x = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Lập bảng biến thiên ta được:

\(\begin{array}{l}{V_{max}} \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}\\ \Rightarrow {V_{max}} = \dfrac{1}{6}a.\sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \left( {a + \dfrac{a}{2}} \right) = \dfrac{1}{6}a\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.