Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 2 ,\,\,SA = a\) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Thể tích của khối tứ diện ANIB là:

Câu 194854: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 2 ,\,\,SA = a\) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Thể tích của khối tứ diện ANIB là:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Câu hỏi : 194854

Quảng cáo

Đáp án : B
(26) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \\ = 0 + \frac{1}{2}.2{a^2} - {a^2} - 0 = 0\\ \Rightarrow BM \bot AC\end{array}\)

Xét tam giác vuông ABM có:

\(AI.BM = AB.AM \Rightarrow AI = \frac{{AB.AM}}{{BM}} = \frac{{AB.AM}}{{\sqrt {A{B^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông ABC ta có: \(BI.AC = AB.BC \Rightarrow BI = \frac{{AB.BC}}{{AC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Tam giác IAB vuông tại I nên \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\)

Ta có: \(SN \cap \left( {ABCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\)

Vậy \({V_{N.AIB}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {AIB} \right)} \right).{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\)

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.