Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích

Câu hỏi số 196715:

Vận dụng

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.

A. \(V = 144\)

B. \(V = 576\)

C. \(V=576\sqrt 2 \)

D. \(V=144\sqrt 6\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:196715

Phương pháp giải

Đặt cạnh đáy của hình chóp là x, lập công thức thể tích hình chóp theo x, sử dụng bất đẳng thức để tìm GTLN của V

Giải chi tiết

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính 9

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Gọi x là cạnh hình vuông ABCD. Để thể tích của hình chóp lớn nhất thì chiều cao hình chóp là

\(SO = SI + OI = 9 + \sqrt {I{C^2} - O{C^2}} = 9 + \sqrt {{9^2} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \)

Thể tích khối chóp là

\(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\left( {9 + \sqrt {81 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} } \right).{x^2} = \dfrac{2}{3}\left( {9t + t\sqrt {81 - t} } \right)\) với \(t = \dfrac{{{x^2}}}{2} \in \left( {0;81} \right]\)

Xét \(f\left( t \right) = 9t + t\sqrt {81 - t} \) trên (0;81], ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 9 + \sqrt {81 - t} - \dfrac{t}{{2\sqrt {81 - t} }} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{18\sqrt {81 - t} + 2\left( {81 - t} \right) - t}}{{2\sqrt {81 - t} }} = 0\\ \Leftrightarrow 18\sqrt {81 - t} + 162 - 3t = 0\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {81 - t} = t - 54\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 54\\36\left( {81 - t} \right) = {t^2} - 108t + 2916\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 54\\{t^2} - 72t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 72\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\(f'\left( t \right) > 0,\forall t \in \left( {0;72} \right);f'\left( t \right) < 0,\forall t \in \left( {72;81} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \max f\left( t \right) = f\left( {72} \right)\\ \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{2}{3}f\left( {72} \right) = 576\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.