Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích
Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt cạnh đáy của hình chóp là x, lập công thức thể tích hình chóp theo x, sử dụng bất đẳng thức để tìm GTLN của V
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính 9
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Gọi x là cạnh hình vuông ABCD. Để thể tích của hình chóp lớn nhất thì chiều cao hình chóp là
\(SO = SI + OI = 9 + \sqrt {I{C^2} - O{C^2}} = 9 + \sqrt {{9^2} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \)
Thể tích khối chóp là
\(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\left( {9 + \sqrt {81 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} } \right).{x^2} = \dfrac{2}{3}\left( {9t + t\sqrt {81 - t} } \right)\) với \(t = \dfrac{{{x^2}}}{2} \in \left( {0;81} \right]\)
Xét \(f\left( t \right) = 9t + t\sqrt {81 - t} \) trên (0;81], ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 9 + \sqrt {81 - t} - \dfrac{t}{{2\sqrt {81 - t} }} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{18\sqrt {81 - t} + 2\left( {81 - t} \right) - t}}{{2\sqrt {81 - t} }} = 0\\ \Leftrightarrow 18\sqrt {81 - t} + 162 - 3t = 0\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {81 - t} = t - 54\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 54\\36\left( {81 - t} \right) = {t^2} - 108t + 2916\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 54\\{t^2} - 72t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 72\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
\(f'\left( t \right) > 0,\forall t \in \left( {0;72} \right);f'\left( t \right) < 0,\forall t \in \left( {72;81} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \max f\left( t \right) = f\left( {72} \right)\\ \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{2}{3}f\left( {72} \right) = 576\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
