Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3i} \right| = 5\) và \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3i} \right| = 5\) và \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần ảo ?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng các công thức và tính chất của số phức để làm bài toán.
+) Modul của số phức \(z = a + bi\) là: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+) Số phức thuần ảo là số phức có dạng: \(z = bi\,\,\,\,\left( {b \ne 0} \right)\)
Gọi \(z = x + yi\) (x, y ∈ ℝ). Ta có
\(\left| {z - 3i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 3} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\) (1)
\(\dfrac{z}{{z - 4}} = \dfrac{{x + yi}}{{x - 4 + yi}} = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left( {x - 4 - yi} \right)}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + {y^2} - 4yi}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + {y^2}}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} - \dfrac{{4y}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}}i\)
Do đó \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) thuần ảo \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + {y^2} = 0\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right.\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 8\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + \dfrac{{3y}}{2}\\{\left( {2 + \dfrac{{3y}}{2}} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + \dfrac{{3y}}{2}\\\dfrac{{13}}{4}{y^2} + 6y = 0\\y \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + \dfrac{{3y}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - \dfrac{{24}}{{13}}\end{array} \right.\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{16}}{{13}}\\y = - \dfrac{{24}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow z = \dfrac{{16}}{{13}} - \dfrac{{24}}{{13}}i\end{array}\)
Hệ này có 1 nghiệm (x;y) duy nhất, do đó có 1 số phức z thỏa mãn.
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
