Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3i} \right| = 5\) và \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần

Câu hỏi số 196947:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3i} \right| = 5\) và \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần ảo ?

A. 0

B. Vô số.

C. 1

D. 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:196947

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức và tính chất của số phức để làm bài toán.

+) Modul của số phức \(z = a + bi\) là: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+) Số phức thuần ảo là số phức có dạng: \(z = bi\,\,\,\,\left( {b \ne 0} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\) (x, y ∈ ℝ). Ta có

\(\left| {z - 3i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 3} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\) (1)

\(\dfrac{z}{{z - 4}} = \dfrac{{x + yi}}{{x - 4 + yi}} = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left( {x - 4 - yi} \right)}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + {y^2} - 4yi}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + {y^2}}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} - \dfrac{{4y}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}}i\)

Do đó \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) thuần ảo \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + {y^2} = 0\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 8\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + \dfrac{{3y}}{2}\\{\left( {2 + \dfrac{{3y}}{2}} \right)^2} + {y^2} = 4\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + \dfrac{{3y}}{2}\\\dfrac{{13}}{4}{y^2} + 6y = 0\\y \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + \dfrac{{3y}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - \dfrac{{24}}{{13}}\end{array} \right.\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{16}}{{13}}\\y = - \dfrac{{24}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow z = \dfrac{{16}}{{13}} - \dfrac{{24}}{{13}}i\end{array}\)

Hệ này có 1 nghiệm (x;y) duy nhất, do đó có 1 số phức z thỏa mãn.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.