Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\), điểm \(M(1;1;2)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\), điểm \(M(1;1;2)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 4 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u(1;a;b)\). Tính \(t = a - b\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} \) với h là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P).
Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = 3
Ta thấy OM < R nên M nằm trong mặt cầu
Suy ra M nằm giữa A và B
Gọi I là trung điểm AB, ta có
\(AB = 2AI = 2\sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = 2\sqrt {{R^2} - O{I^2}} \ge 2\sqrt {{R^2} - O{M^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{do }}OI \le OM} \right)\)
Dấu bằng xảy ra ⇔ I ≡ M ⇔ OM ⊥ ∆
Vậy AB nhỏ nhất ⇔ OM ⊥ ∆
Khi đó, ∆ vuông góc với OM và vectơ pháp tuyến của (P) nên ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \left( {1;1;2} \right);\overrightarrow {\,\,n} = \left( {1;1;1} \right);\,\,\,\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 1;1;0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow a = - 1;\,\,\,b = 0 \Rightarrow T = - 1\end{array}\)
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
