Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = mx - m + 1\) cắt đồ thị

Câu hỏi số 196954:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = mx - m + 1\) cắt đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 2\) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(AB = BC\)

A. \(m \in ( - \infty ;0) \cup {\rm{[}}4; + \infty )\)

B. \(m \in \mathbb{R}\)

C. \(m \in \left( { - \dfrac{5}{4}; + \infty } \right)\)

D. \(m \in ( - 2; + \infty )\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:196954

Phương pháp giải

Cách 1: Nếu 1 đường thẳng cắt đồ thị hàm số bậc ba tại 3 điểm phân biệt, 1 trong 3 điểm đó là điểm uốn của đồ thị thì điểm uốn đó là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 giao điểm còn lại.

Cách 2: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Hàm số bậc ba đã cho có điểm uốn (1;1)

Đường thẳng đã cho luôn đi qua (1;1) với mọi m

Do đó, điều kiện đề bài thỏa mãn ⇔ Đường thẳng đã cho cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}mx - m + 1 = {x^3} - 3{x^2} + x + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + 1 + m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x - m - 1 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để 2 đồ thị có 3 giao điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2.1 - m - 1 \ne 0\\\Delta ' = 1 + \left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2\)

Vì đường thẳng d: \(y = mx - m + 1\) cắt đồ thị hàm số (C) \(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 2\) tại điểm uốn B(1;1) nên đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A; B; C thì điểm B là trung điểm của AC.

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.