Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x +

Câu hỏi số 206159:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\) b) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\)

c) Tìm \(x\) để \(P < - \frac{1}{2}.\) d) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}.\)

A. a) \(P=\frac{3}{\sqrt{x}+3}.\)

b) \(P={{3\sqrt 5 - 15} \over {10}}.\)

c) \( 0 \leq x <9.\)

d) \(x=0.\)

B. a) \(P=\frac{3}{\sqrt{x}+3}.\)

b) \(P={{3\sqrt 5 + 15} \over {10}}.\)

c) \( 0 \leq x <9.\)

d) \(x=0.\)

C. a) \(P=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}.\)

b) \(P={{3\sqrt 5 - 15} \over {10}}.\)

c) \( 0 \leq x <9.\)

d) \(x=0.\)

D. a) \(P=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}.\)

b) \(P={{3\sqrt 5 - 15} \over {10}}.\)

c) \( 0 < x <9.\)

d) \(x=0.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206159

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Biến đổi \(x,\) đối chiều với điều kiện sau đó thay giá trị của \(x\) vào biểu thức vừa rút gọn được ở câu a) rồi tính giá trị biểu thức.

c) Giải bất phương trình \(P < - \frac{1}{2}\) để tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

d) Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

Ta có: \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}} = \frac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \frac{{ - 3}}{{\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} + 3}} = \frac{{ - 3.2}}{{\sqrt 5 - 1 + 6}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt 5 + 5}} = \frac{{ - 6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} - 5}} = \frac{{6\sqrt 5 - 30}}{{20}} = \frac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}.\end{array}\)

c) Tìm \(x\) để \(P < - \frac{1}{2}.\)

Điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{{\sqrt x + 3}} < - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{6 - \sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt x > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được với \(0 \le x < 9\) thì \(P < - \frac{1}{2}\).

d) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}.\)

Điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall \,x \ge 0;\,\,\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 1\\\sqrt x + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 0\) thì \(P \in Z\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link