Cho biểu thức: Cho \(A = \frac{7}{{\sqrt x + 8}};\,\,B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x -

Câu hỏi số 206160:

Vận dụng cao

Cho biểu thức: Cho \(A = \frac{7}{{\sqrt x + 8}};\,\,B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};\,\,x \ge 0;x \ne 9.\)

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

A. a) \(A=\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x - 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16\) hoặc \(x=\frac{1}{4}.\)

B. a) \(A=-\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x + 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16\) hoặc \(x=\frac{1}{4}.\)

C. a) \(A=\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x + 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16.\)

D. a) \(A=\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x + 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16\) hoặc \(x=\frac{1}{4.}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206160

Phương pháp giải

a) Thay giá trị \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức \(A.\)

b) Quy đồng mẫu và biến đổi để rút gọn biểu thức.

c) Dựa vào điều kiện của \(x\) để đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) và từ đó tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

Điều kiện \(x \ge 0.\)

Với \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) ta có: \(A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Rút gọn B: với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Ta có: \(P = A.B = \frac{7}{{\sqrt x + 8}}.\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow P > 0.\)

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < P \le \frac{7}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 1\\P = 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {do\,\,\,P \in Z} \right).\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1\\\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 7\\\sqrt x + 3 = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

ĐK:\(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

Vậy \(x = 16\) hoặc \(x = \frac{1}{4}\) thì \(P = A.B\) nguyên.

Chú ý khi giải: Chú ý, với bài toán này, đề bài yêu cầu tìm \(x \in \mathbb{R}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) nên mình cần đánh giá tập giá trị của biểu thức của \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) rồi tìm \(x.\)

Các bạn học sinh thường hay nhầm lẫn với dạng toán \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link