Cho biểu thức: Cho \(A = \frac{7}{{\sqrt x + 8}};\,\,B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};\,\,x \ge 0;x \ne 9.\)

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Câu 206160: Cho biểu thức: Cho \(A = \frac{7}{{\sqrt x + 8}};\,\,B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};\,\,x \ge 0;x \ne 9.\)

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

A. a) \(A=\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x - 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16\) hoặc \(x=\frac{1}{4}.\)

B. a) \(A=-\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x + 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16\) hoặc \(x=\frac{1}{4}.\)

C. a) \(A=\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x + 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16.\)

D. a) \(A=\frac{7}{13}.\)

b) \(B={{\sqrt x + 8} \over {\sqrt x + 3}}.\)

c) \(x=16\) hoặc \(x=\frac{1}{4.}\)

Câu hỏi : 206160

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức \(A.\)

b) Quy đồng mẫu và biến đổi để rút gọn biểu thức.

c) Dựa vào điều kiện của \(x\) để đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) và từ đó tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

Điều kiện \(x \ge 0.\)

Với \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) ta có: \(A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Rút gọn B: với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Ta có: \(P = A.B = \frac{7}{{\sqrt x + 8}}.\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow P > 0.\)

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < P \le \frac{7}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 1\\P = 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {do\,\,\,P \in Z} \right).\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1\\\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 7\\\sqrt x + 3 = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

ĐK:\(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

Vậy \(x = 16\) hoặc \(x = \frac{1}{4}\) thì \(P = A.B\) nguyên.

Chú ý khi giải: Chú ý, với bài toán này, đề bài yêu cầu tìm \(x \in \mathbb{R}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) nên mình cần đánh giá tập giá trị của biểu thức của \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) rồi tìm \(x.\)

Các bạn học sinh thường hay nhầm lẫn với dạng toán \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây