Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Để tính nguyên hàm \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} \), ta có thể đặt:

Câu 206274: Để tính nguyên hàm \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} \), ta có thể đặt:

A. \(x=\tan t\)

B. \(t=x^2+1\)

C. Hai cách đặt trên đều được 

D. Hai cách đặt trên đều không được

Câu hỏi : 206274
  • Đáp án : C
    (19) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Cách 1: \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} \) 

    Đặt \(x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt = \left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt\) 

    \(\begin{array}{l}I = \int {\dfrac{{{{\tan }^3}t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^3}}}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt} \\\,\,\, = \int {\dfrac{{{{\tan }^3}t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dt\\\,\,\,\, = \int {\dfrac{{\tan t\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right) - \tan t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dt\\\,\,\,\, = \int {\dfrac{{\tan t}}{{{{\tan }^2}t + 1}}} dt - \int {\dfrac{{\tan t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dt\\\,\,\,\, = {I_1} + {I_2}\end{array}\)

    \({I_1} = \int {{{\tan t} \over {{{\tan }^2}t + 1}}} dt\)

    Đặt \({\tan ^2}t + 1 = a \Rightarrow 2{\mathop{\rm tant}\nolimits} \left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt = da\) \( \Rightarrow {\mathop{\rm tantdt}\nolimits}  = \frac{{da}}{{2\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}} = \dfrac{{da}}{{2a}}\)

    \(\begin{array}{l}
    {I_1} = \int {\dfrac{{da}}{{2{a^2}}}} = \dfrac{{ - 1}}{{2a}} + C = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}} + C\\
    {I_2} = \int {\dfrac{{\tan t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dx
    \end{array}\)

    Đặt

    \(\eqalign{ & {\tan ^2}t + 1 = a \Rightarrow 2\tan t{{dt} \over {{{\cos }^2}t}} = da \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm tant}\nolimits} \left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt = da \cr & \Rightarrow {\mathop{\rm tantdt}\nolimits} = {{da} \over {2\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}} = {{da} \over {2a}} \cr} \)

    \({I_2} = {1 \over 2}\int {{{da} \over {{a^3}}}}  = {1 \over 2}{{ - 1} \over {2{a^2}}} + C =  - {1 \over {4{a^2}}} + C = {{ - 1} \over {4{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}} + C\)

    Cách 2:  \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} \)

    Đặt \({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = {{dt} \over 2}\)

    \(\begin{array}{l}
    I = \int {\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} = \int {\dfrac{{x\left( {{x^2} + 1} \right) - x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}} dx\\
    \,\,\, = \int {\dfrac{x}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx - \int {\dfrac{x}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}} dx\\
    \,\,\, = \int {\dfrac{{dt}}{{2{t^2}}} - \int {\dfrac{{dt}}{{2{t^3}}}} } = \dfrac{{ - 1}}{{2t}} + \dfrac{1}{{4{t^2}}} + C.
    \end{array}\)

    Vậy hai cách đặt trên đều được.

    Chọn C.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com