Định m để phương trình \(m{\cos ^2}x - 4\sin x\cos x + m - 2 = 0\) có nghiệm trong khoảng \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Câu 209112: Định m để phương trình \(m{\cos ^2}x - 4\sin x\cos x + m - 2 = 0\) có nghiệm trong khoảng \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)

A. \(1 < m < \dfrac{8}{3}\)

B. \(0 \leqslant m \leqslant 3\)

C. \(0 < m < 1\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Câu hỏi : 209112

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết

Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\cos x \ne 0\) nên ta chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) được:

\(\begin{array}{l}m - 4\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{m - 2}}{{{{\cos }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow m - 4\tan x + \left( {m - 2} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){\tan ^2}x - 4\tan x + 2m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\tan x = t\left( {t \in \left( {0;1} \right)} \right)\), Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){t^2} - 4t + 2m - 2 = 0\left( 2 \right)\)

TH1: \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) khi đó ta có: \(0{t^2} - 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow m = 2\) thì phương trình ban đầu có nghiệm.

TH2: \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Để phương trình có nghiệm thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có nghiệm \(t \in \left( {0,1} \right)\).

\(\left( 2 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 - \left( {m - 2} \right)\left( {2m - 2} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} + 6m \geqslant 0 \Leftrightarrow 2m\left( {3 - m} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 3\)

+) TH1: \(\left( 2 \right)\) có nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} < {t_2} < 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < {t_1} < 1\\0 < {t_2} < 1\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} < 2\\{t_1}{t_1} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{m - 2}} > 0\\\frac{4}{{m - 2}} < 2\\\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\frac{{4 - 2m + 4}}{{m - 2}} < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\frac{{8 - 2m}}{{m - 2}} < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4.\end{array}\) .

+) TH2: \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \({t_1} < 0 < {t_2} < 1\). Khi đó:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} < 0\\0 < {t_2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} < 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} < 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} < 0\\\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} - \frac{4}{{m - 2}} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\frac{{2m - 2 - 4 + m - 2}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > \frac{8}{3}\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2.\end{array}\) .

+) TH3: \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < {t_1} < 1\\{t_2} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} < 2\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} > 0\\\frac{4}{{m - 2}} > 0\\\frac{4}{{m - 2}} < 2\\\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} - \frac{4}{{m - 2}} + 1 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m - 2 > 0\\\frac{{4 - 2m + 4}}{{m - 2}} > 0\\\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 2\\\frac{{2m - 8}}{{m - 2}} < 0\\\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\2 < m < 4\\2 < m < \frac{8}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \frac{8}{3}.\end{array}\) .

Từ ba trường hợp trên, kết hợp với điều kiện có nghiệm của \(\left( 2 \right)\) ta được \(m \in \left( {1;\frac{8}{3}} \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Kết hợp với \(m = 2\) ta được điều kiện cuả \(m\) là \(m \in \left( {1;\frac{8}{3}} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.