Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - 2x\sqrt {1 - {x^2}} } \) với \(x \in \left[ {0;\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\). Biết rằng \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). F(x) bằng ?

Câu 209471: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - 2x\sqrt {1 - {x^2}} } \) với \(x \in \left[ {0;\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\). Biết rằng \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). F(x) bằng ?

A. \({t \over 2} + {{\sin 2t - cos2t} \over 4} + C\)

B. \({t \over 2} + {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C\)

C. \(t - {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C\)

D. \( - {t \over 2} - {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C\)

Câu hỏi : 209471

Quảng cáo

Đáp án : B
(11) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t\) và \(\sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}t} = \cos t.\)

Khi đó :

\(\begin{array}{l}
\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dx} = \int {\sqrt {1 - 2\sin t.\cos t} .\cos t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dt} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\sqrt {{{\sin }^2}t - 2\sin t\cos t + {{\cos }^2}t} .\cos t{\mkern 1mu} {\rm{d}}t} = \int {\left| {\sin t - \cos t} \right|.\cos t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{d}}t}
\end{array}\)

Ta có : \(x \in \left[ {0;\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow \sin t < \cos t\,\forall t \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow \sin t - \cos t < 0\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\cos t - \sin t} \right).\cos t\,\,{\rm{d}}t} = \int {\left( {{{\cos }^2}t - \sin t.\cos t} \right)\,\,{\rm{d}}t} . \cr & = \int {{{1 + \cos 2t} \over 2}\,{\rm{d}}t} - {1 \over 2}\int {\sin 2t\,{\rm{dt}}} = {1 \over 2}\left( {t + {{\sin 2t} \over 2}} \right) + {1 \over 2}{{\cos 2t} \over 2} + C \cr & = {t \over 2} + {{\sin 2t + cos2t} \over 4} + C \cr} \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.